Page 127 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
126 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n
n
14n 35 sayısının 77 ile tam olarak 5 + 3 + 1 sayısı 1 n 100 ko¸sulunu
bölünmesini ve sa˘ glayan n tamsayılarından kaç tanesi için 7’ye
bölünür? (U ˙ IMO - 1993)
1 n 77
n
n
ko¸sulunu sa˘ glayan kaç tane n tamsayısı vardır? 5 +3 +1 ifadesini mod 7’de inceleyelim.
1
1
(U ˙ IMO - 1996) 5 5 (mod 7) ; 3 3 (mod 7) ise,
1
1
5 + 3 + 1 2 (mod 7)
2
2
5 4 (mod 7) ; 3 2 (mod 7) ise,
14n 35 = 7 (2n 5)
2
2
5 + 3 + 1 0 (mod 7)
oldu˘ guna göre, 14n 35 ifadesi daima 7’ye 3 3
bölünece˘ ginden; bu sayının 77’ye bölünebilmesi için; 5 6 (mod 7) ; 3 6 (mod 7) ise,
3
3
2n 5 sayısı 11’e bölünebilmelidir. Yani; 5 + 3 + 1 6 (mod 7)
4
4
2n 5 0 (mod 11) 5 2 (mod 7) ; 3 4 (mod 7) ise,
4
4
olmalıdır. Buna göre; 5 + 3 + 1 0 (mod 7)
5
5
2n 5 (mod 11) 5 3 (mod 7) ; 3 5 (mod 7) ise,
5
5
denkli˘ ginden, 5 + 3 + 1 2 (mod 7)
2n 5 + 11 (mod 11) ise n = 8 (mod 11) 5 1 (mod 7) ; 3 1 (mod 7) ise,
6
6
olur. Yani; n sayısı k 2 Z için; 11k + 8 formunda 5 + 3 + 1 3 (mod 7)
6
6
olmalıdır. 1 n 77 aralı˘ gındaki
denkli˘ ginden görülür ki; k 2 Z için; n = 6k + 2 veya
11k + 8 n = 6k + 4 olmalıdır.
formundaki sayılar; O halde; 1 n 100 aralı˘ gında;
8; 19; 30; 41; 52; 63 ve 74 n = 6k + 2 formunda; 2; 8; 14;...; 98 sayıları olabilir,
98 2
olmak üzere 7 tanedir. + 1 = 17
6
tanedir.
n = 6k + 4 formunda; 4; 10; 16;...; 100 sayıları
olabilir,
100 4
+ 1 = 17
6
tanedir. Böylece, toplam 34 tane istenen ¸sekilde n
tamsayısı oldu˘ gu görülür.
Basamaklarından birini 4; birini 6; di˘ ger
ikisini de istenilen herhangi iki a ve b rakamlarının
olu¸sturdu˘ gu ve de˘ geri 46(10a + b)’ye e¸sit olan kaç n < 2005 pozitif bir tamsayı olmak
tane dört basamaklı sayı vardır? (U ˙ IMO - 2004) üzere; n sayısının; hiçbiri 5’e bölünmeyen tüm
a 1 ; a 2 ; :::; a n pozitif tamsayıları için;
˙ Istenilen dört basamaklı sayının rakamları a + a + + a 4 n
4
4
1
2
toplamı 4 + 6 + a + b de˘ gerine e¸sittir. 9’a bölünebilme
sayısının 5’e bölünmesini sa˘ glayan en büyük de˘ geri
kuralına göre; sayının rakamları toplamının 9’a
nedir? (UMO - 2005)
bölümünden elde edilen kalanın; sayının 9’a
bölümünden kalana e¸sit olması gerekir.
4 + 6 + a + b a + b + 1 (mod 9)
4
4
4
4
4
4
4
4
1 2 3 4 6 7 8 9 1 (mod 5)
oldu˘ gundan,
oldu˘ gundan; ve 5’e bölünmeyen tüm a 1 ; a 2 ; :::; a n
46(10a + b) a + b + 1 (mod 9)
pozitif tamsayıları için;
olması gerekir. Fakat, 4 4 4
a + a + + a n
2
1
46(10a + b) a + b (mod 9)
ifadesinin 5’e bölünebilmesi; n sayısının 5’in katı
oldu˘ gundan istenilen ¸sekilde dört basamaklı sayı olması durumunda mümkündür. Buna göre; en büyük
yoktur. n < 2005 için; n = 2000 olmalıdır.