Page 125 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
124 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
3 100 sayısının 7’ye bölümünden kalan 4 100 sayısının son rakamı kaçtır?
kaçtır?

Sorumuzu kısaca, 3 100 ? (mod 7)
¸ seklinde yazabiliriz. 3’ün kuvvetlerinin 7’ye
bölümünden kalanları sırasıyla hesaplayalım. Bu
i¸sleme, kalanını buluncaya kadar devam edece˘ giz.
1
3 3 (mod 7) Yanıt : 6.
2
3 9 2 (mod 7)
1 2
3
3 3 3 3 2 6 (mod 7)
1 3
4
3 3 3 3 6 4 (mod 7)
5
1 4
3 3 3 3 4 5 (mod 7)
1 5
6
3 3 3 3 5 1 (mod 7) (1 kalanını
bulduk.)
6
oldu˘ gunu gördük. Demek ki, 3 1 (mod 7)’dir. Buna
göre, 100 = 6 16 + 4 oldu˘ gundan, 1111
2013 sayısının son rakamı kaçtır?
16

16
4
3 100 = 3 6 3 1 4 4 (mod 7)
elde edilir. Yani, 3 100 sayısının 7’ye bölümünden kalan 2013 3 (mod 10) oldu˘ gundan,
4’tür. 1111 1111
2013 3 = (mod 10)
olur.
1
3 = 3 (mod 10) ;
2
3 9 (mod 10) ;
3
3 7 (mod 10) ;
4
2 100 sayısının son rakamı kaçtır? 3 1 (mod 10)
oldu˘ gundan, 1111 = 4 277 + 3 oldu˘ gu kullanılarak,

3
Sorumuzu kısaca, 2 100 ? (mod 10) 2013 1111 3 1111 = 3 4 277 3 7 (mod 10)
¸ seklinde yazabiliriz. elde edilir. Yani, son rakam 7 bulunur.
1
2 2 (mod 10)
2
2 4 (mod 10)
3
2 8 (mod 10)
1 3
4
2 2 2 2 8 6 (mod 10)
5
1 4
2 2 2 2 6 2 (mod 10)
oldu˘ gunu gördük. Yani, 2’nin üssüne ba˘ glı olarak, son
rakam 2,4,8,6 olacaktır. 2’nin üssü, 4k + 1 fomunda
ise, 2, 4k + 2 fomunda ise 4, 4k + 3 fomunda ise 8, 4k 2013
1234 sayısının son rakamı kaçtır?
fomunda ise 6 olacaktır. 100, 4k formunda oldu˘ gundan
2 100 6 (mod 10)
bulunur.
Yanıt : 4.
1111 2013 sayısının 7’ye bölümünden
7 100 sayısının son rakamı kaçtır? kalan kaçtır?

Yanıt : 1. Yanıt : 6.