Page 128 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 127
7 7
7 7 sayısının birler basama˘ gı kaçtır?
n
Önce; n 2 Z için, 7 sayısının birler 3 3n+1 + 5 3n+2 + 7 3n+3
basama˘ gındaki rakamı bulalım. sayısının daima 7’ye bölündü˘ günü, fakat 5’e her
1
7 7 (mod 10) ; zaman bölünemeyebilece˘ gini gösteriniz.
2
7 9 (mod 10) ;
3
7 3 (mod 10) ;
4
7 1 (mod 10)
n
oldu˘ gundan; 7 ¸seklindeki bir ifadenin son rakamı, n A = 3 3n+1 + 5 3n+2 + 7 3n+3
n
n
sayısına ba˘ glı olarak; = 3 27 + 25 125 + 343 343 n
7; 9; 3; 1; ::: diyelim.
n
¸ seklinde periyodik olarak dört farklı de˘ ger alacaktır. A = 3 27 + 5 3n+2 + 343 343 n
O halde n = 7 7 7 sayısının mod 4’te kaça e¸sit oldu˘ gunu 3 2 + 3 3 (mod 5)
n
n
bulalım. 3 (2 + ( 2) ) (mod 5)
n
n
1
7 3 (mod 4) ;
2
7 1 (mod 4) olur. n sayısı tek ise A 0 (mod 5) ; n sayısı çift ise
n
7
oldu˘ gundan; 7 sayısının mod 4’te tek iken 3’e, çift A 2 (mod 5) elde edilir. Yani, n sayısına ba˘ glı
iken 1’e denk oldu˘ gunu görürüz. Böylece; olarak her zaman 5’e bölünmeyebilir. Örne˘ gin, n = 2
için 5’e bölünmez.
7 7
7 n = 7 7 ¸ Simdi daima 7’ye bölündü˘ günü görelim.
n
n
7 7 tek 3(mod 4) A = 3 27 + 25 125 + 7 3n+3
3
n
n
7 (mod 10) 3 ( 1) + 4 ( 1) (mod 7)
n
3 (mod 10) = 7 ( 1) 0 (mod 7)
elde edilir. oldu˘ gundan daima 7’ye bölünür.
2
3, 7, 11 ve 13 sayılarından hangisi 4n + 1
2
2
2
2
2
2
11 + 13 + 17 ; 24 + 25 + 26 ; sayısını, n’nin sonsuz sayıdaki tamsayı de˘ geri için
2
2
2
12 + 24 + 36 sayılarının tamkare olmadı˘ gını böler? (UMO - 1994)
gösteriniz.
i) n = 0; 1 (mod 3) için;
2
4n + 1 1; 2 (mod 3)
2
2
2
2
2
2
12 + 24 + 36 = 12 2 1 + 2 + 3 2 = 12 14 oldu˘ gundan; 4n + 1 sayısı asla 3’e bölünemez.
oldu˘ gundan üçüncü sayının tamkare olmadı˘ gı hemen ii) n = 0; 1; 2 veya 3 (mod 7) için;
2
görülür. Birinci ve ikinci sayıların da tamkare 4n + 1 1; 5 veya 3 (mod 7)
olmadı˘ gını hemen görmek mümkündür. Çünkü, bir 2
oldu˘ gundan; 4n + 1 sayısı asla 7’ye bölünemez.
sayının karesi mod 4’te 2 ve 3 kalanını, mod 3’te de 2
iii) n = 0; 1; 2; 3; 4 veya 5 (mod 11) için;
kalanını veremez. Buna göre,
2
4n + 1 1; 5; 6; 4; 10 veya 2 (mod 11)
2
2
2
2
2
2
11 + 13 + 17 ( 1) + 1 + 1
2
oldu˘ gundan; 4n + 1 sayısı asla 11’e bölünemez.
3 (mod 4) ;
iv) mod 13 te inceledi˘ gimizde ise; n = 4 (mod 13)
2
2
2
2
2
24 + 25 + 26 0 + 1 + 2 = 5 için;
2 (mod 3) 2
4n + 1 0 (mod 13)
oldu˘ gundan, bu iki sayının tamkare olması mümkün
oldu˘ gu görülür.
de˘ gildir.
Yani; k 2 Z için
n = 13k + 4 veya n = 13k 4
2
oldu˘ gunda 4n + 1 sayısı 13’e bölünecektir. O halde
yanıt 13’tür.