Page 129 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
128 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n
5
3
2
5 + n sayısının 11’e bölünmesini p + p + 11p + 2 ifadesinin asal sayı
sa˘ glayan 2003’ten büyük en küçük n tamsayısı olmasını sa˘ glayan kaç tane p asal sayısı vardır?
nedir? (UMO - 2003) (UAMO- 2000)
2
3
Bir pozitif tamsayının 5’inci kuvveti p + p + 11p + 2 ifadesi,
2
3
mod 11’de 1 veya 1 olabilir. i) p = 3 için 3 + 3 + 11 3 + 2 = 71 asaldır.
1
5 5 (mod 11) ; ii) p 6= 3 için p = 3k 1; k 1 biçiminde olur.
2
5 3 (mod 11) ; p = 3k + 1 ise,
3
5 4 (mod 11) ; p + p + 11p + 2 1 + 1 + 2 + 2 0 (mod 3)
2
3
4
5 9 (mod 11) ;
5
5 1 (mod 11) p = 3k 1 ise,
5
n
3
2
oldu˘ gundan; 5 + n sayısının 11’e bölünmesi için; p + p + 11p + 2 1 + 1 2 + 2 0 (mod 3)
n = 5k olmalıdır. olaca˘ gından, p 6= 3 için, p + p + 11p + 2 sayısı asal
3
2
Buna göre; olamaz.
5
5
5 2005 + 2005 1 + 3 2 (mod 11)
oldu˘ gundan n = 2005 olamaz.
5
5
5 2010 + 2010 1 + 8 0 (mod 11)
oldu˘ gundan; n = 2010 istenen ¸sekildeki en küçük
tamsayıdır.

F Fermat Teoremi F

p bir asal sayı olmak üzere; a ile p aralarında asal ise;
a p 1 1 (mod p)
’dir. Bu teoreme Fermat teoremi denir. Bu teorem; bir
tamsayının bir pozitif tamsayı kuvvetinin bir asal sayı
2
3 + 3 + 3 2 2 + 3 2 3 + + 3 2 2006 toplamının ile bölünmesinden elde edilen kalanın bulunmasında;
sonuca daha kısa yoldan ula¸smamızı sa˘ glar. Örne˘ gin;
11’e bölümünden kalan kaçtır? (UMO - 2006)
10 12 1 (mod 13) ;
2
3 9 (mod 11) ; 27 30 1 (mod 31) ;
3
3 5 (mod 11) ; 100 40 1 (mod 41)
4
3 4 (mod 11) ; oldu˘ gunu Fermat teoremden do˘ grudan olarak söyleye-
5
3 1 (mod 11)
biliriz.
oldu˘ gundan; k sayısı 5’in katı oldu˘ gunda
k
3 1 (mod 5)
olacaktır. O halde üslerin mod 5’teki durumunu
inceleyelim.
1
2 2 (mod 5) ;
2
2 4 (mod 5) ;
3
2 3 (mod 5) ;
4
2 1 (mod 5)
oldu˘ gundan; 41 362 sayısının 61’e bölümünden kalan
8 kaçtır?
> 3; n = 4k
>
< 9; n = 4k + 1
n
3 2 (mod 11) Fermat teoreminden; 41 60
> 5; n = 4k + 3
>
4; n = 4k + 2
: 1 (mod 61)’dir. Buna göre;
elde edilir. O halde; 2006 = 4 501 + 2 oldu˘ gundan; 41 362 = 41 60 6 41 2
2
2
2
3 + 3 + 3 2 2 + 3 2 3 + + 3 2 2006 41 = ( 20) (mod 61)
3 + 501 (3 + 9 + 5 + 4) + 9 + 4 (mod 11) 400 (mod 61)
3 + 6 ( 1) + 2 1 10 (mod 11) 34 (mod 61)
bulunur. olur.