Page 130 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 129

17 20 sayısının 19’a bölümünden kalan F Euler Teoremi F

kaçtır?
Fermat teoreminin genel halidir. Bu kez modun asal ol-
masına gerek yoktur. Daha önce bahsetmi¸s oldu˘ gumuz,
Euler formülü yardımıyla, üslü denklikleri çözmemizi
sa˘ glar. Teoremi ¸söyle ifade edebiliriz.
E (n) sayısı, n sayısının de˘ geri olsun. Bu durumda,
(a; n) = 1 olmak üzere,
a E(n) 1 (mod n)
denkli˘ gi sa˘ glanır.
Yanıt : 4.
2 2
Örne˘ gin, E (20) = E 2 5 = 2 2 (5 1) = 8
123 111 sayısının 13’e bölümünden kalan oldu˘ gundan, 20 ile arasında asal bir a sayısı için,
8
a 1 (mod 20)
kaçtır?
oldu˘ gunu hemen söyleyebiliriz.

13 18 sayısının 20’ye bölümünden kalan
kaçtır?
Yanıt : 8
Soruyu, 13 18 ? (mod 20) ¸seklinde
yazabiliriz. Mod 20 oldu˘ gundan, 20 sayısının Euler
33 92 sayısının 19’a bölümünden kalan
de˘ gerini bulmalıyız.
kaçtır? 2 2 1 1 0
E (20) = E 2 5 = 2 2 5 5 = 8
ve (20; 13) = 1 oldu˘ gundan,
8
13 1 (mod 20)
yazılabilir. Buna göre,
2

13 18 = 13 8 2 13 169 9 (mod 20)
elde edilir.
Yanıt : 6.

n
3 + 7 sayısı 11’e bölünecek ¸sekildeki üç
basamaklı en büyük sayı kaçtır?

1453 602 sayısının son iki basama˘ gını
bulunuz.

Son iki basamak istendi˘ gi için mod 100’de
inceleyece˘ giz.
2 2
E (100) = 2 2 5 5 = 40
oldu˘ gundan,
4
5
Yanıt : 999. (3 1 (mod 11) ; 3 4 (mod 11) 1453 40 53 40 1 (mod 100)
oldu˘ gundan, n = 5k + 4 formunda olmalıdır.) olacaktır. Buna göre,

2
2
1453 602 = 1453 40 15 1453 53 09 (mod 100)
elde edilir.