Page 131 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
130 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
19 400 sayısının 28’e bölümünden kalan Faktöriyel Kavramı
kaçtır?

F Faktöriyel F

1’den n’ye kadar olan sayıların çarpımını n! =
1 2 3 n ile gösteririz. 0! = 1 olarak tanımlanır
5! = 5 4 3 2 1 = 120,
7! = 7 6 5!.
Yanıt : 9.
Ayrıca, n 3 için,
n! = n (n 1) (n 2) (n 3)!
¸ seklinde yazılabilir.

4 101 sayısının 18’e bölümünden kalan
kaçtır?

4 ile 18 sayıları arasında asal olmadı˘ gı için
Euler Teoremini do˘ grudan uygulayamayız. Bu defa, 10! + 11! = n! ise n de˘ gerini bulunuz.
9!
101
101
4 ? (mod 9) ve 4 ? (mod 2)
Faktöriyelli en küçük ifade 9! oldu˘ gundan,
denkliklerini hesaplayaca˘ gız. E (9) = 6 oldu˘ gundan,
di˘ ger faktöriyelli sayıları da 9! cinsinden yazalım. Yani,
16 96
6
6
4 1 (mod 9) ) 4 = 4 1 (mod 9) 10! = 10 9! ve 11! = 11 10 9! ¸seklinde yazıp, kesrin
5
olur. O halde, 4 101 4 = 7 (mod 9) elde edilir. Buna payında 9! parantezine alalım. Buna göre,
göre, 10 9! + 11 10 9! 9! (10 + 10 11)
=
4 101 7 veya 9! 9!
120 9!
101
7 + 9 (mod 18) ) 4 7; 16 (mod 18) = = 120 = 5!
9!
olacaktır. Di˘ ger yandan, oldu˘ gundan, n = 5 elde edilir.
4 101 0 (mod 2)
olmalıdır. Bu ko¸sul, 4 101 7 (mod 18) olamayaca˘ gını
(n + 1)!
gösterir. O halde, = 20 ise n do˘ gal sayısı kaçtır?
4 101 16 (mod 18) (n 1)!
bulunur.
(n + 1)! = (n + 1) n (n 1)!
¸ seklinde yazabiliriz. Buna göre,
(n + 1)! (n + 1) n (n 1)!
6 100 sayısının 20’ye bölümünden kalan = = (n + 1) n = 20
(n 1)! (n 1)!
kaçtır?
e¸sitli˘ ginden, n = 4 bulunur.

(n + 2)!n!
= 35 ise n do˘ gal
(n 1)! (n + 1)!
sayısı kaçtır?
Yanıt : 16.

Bu kısımda gördü˘ gümüz konular, Matematik
Olimpiyatlarına Hazırlık 3 kitabında daha detaylı
ele alınmı¸stır. Daha zor soruları ve daha ayrıntılı
Yanıt : 5.
konuları belirtilen kitapta bulabilirsiniz.