Page 133 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
132 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1 3 5 21 çarpımını faktöriyelli olarak 11! 10! (mod m) denkli˘ gini sa˘ glayan kaç
yazınız. pozitif tamsayı vardır?

1 2 3 4 5 6 21 = 21! oldu˘ gundan, 11! 10! (mod m) ise
21! m j 11! 10! = 10 10!
1 3 5 21 =
2 4 6 20 oldu˘ gundan; m sayısı 10 10! sayısının pozitif
21! 21! 9 4 3
= = bölenlerinin sayısı kadardır. 10 10! = 2 3 5 7
2 10 (1 2 3 10) 2 10! sayısının pozitif bölen sayısı ise;
10
olur.
(9 + 1) (4 + 1) (3 + 1) (1 + 1) = 400
bulunur.

11 13 15 33 çarpımını faktöriyelli
olarak yazınız.

9! 8!(mod p) denkli˘ gini sa˘ glayan
asal olmayan kaç p do˘ gal sayısı vardır?

33! 5!
Yanıt : :
10! 2 16!
11

100! + 101! + 102! Yanıt : (10 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) 4 = 128:
sayısının en büyük asal
98! + 99!
çarpanı kaçtır?

Verilen e¸sitlikte, kesrin payında
101! = 101 100! ve 102! = 102 101 100!
ve paydasında da 99! = 99 98! yazalım.
100! + 101! + 102!
=
98! + 99!
100! + 101 100! + 102 101 100!
98! + 99 98!
olur. Kesirin payında 100!, paydasında da 98! ortak
n!(2n + 1) ve 221 sayılarının aralarında
parantezine alabiliriz. O halde
asal olmasını sa˘ glayan kaç n pozitif tamsayısı
100! (1 + 101 + 102 101)
= vardır? (UMO - 2007)
98! (1 + 99)
100 99 98! (102 + 102 101) 221 = 13 17 oldu˘ gundan dolayı; n > 12
:
98!(1 + 99) için; n! sayısı ile 221 aralarında asal olamaz. O halde;
olur ki, bu kesirde de 98! ve 100 de˘ gerleri n 12 pozitif tamsayılarını inceleyelim. Ayrıca;
sadele¸stirilirse,
2n + 1 = 13, yani n = 6 için ve 2n + 1 = 17, yani
99 (102 + 102 101) = 99 102 (1 + 101) n = 8 için de
= 99 102 2 aralarında asal olamaz. O halde;
2
= 3 11 (2 3 17) 2 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 10; 11 ve 12
e¸sitli˘ ginden, verilen ifadenin en büyük asal çarpanının sayıları için aralarında asaldır. Yani; istenen ¸sekilde 10
17 oldu˘ gu görülür. tane n pozitif tamsayısı vardır.