Page 134 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 133
13! sayısının 2 asal çarpanının kuvveti 101! sayısının sonunda kaç sıfır vardır?
kaçtır?
101! içinde kaç tane 10 çarpanı oldu˘ gunu
1’den 13’e kadar olan sayılarda 2’nin katı bulmalıyız. Çünkü her 10 çarpanı, sayının sonundaki
olanlar, bir sıfırı ifade eder. Di˘ ger yandan, 10 = 2 5
oldu˘ gundan ve 2 çarpanı 5 çarpanından fazla
2; 4; 6; 8; 10; 12
olaca˘ gından, 5 çarpanının sayısını hesaplamak yeterli
’dir ve 6 tanedir. Her birinden bir 2 çarpanı gelecektir. olacaktır.
Fakat, 4’ün katı olanlarda birer fazla 2 çarpanı 101 5 = 20; 20 5 = 4
olacaktır. Bunlar,
oldu˘ gundan, 20 + 4 = 24 tane 5 çarpanı olacaktır.
4; 8 ve 12 Dolayısıyla da 24 tane sıfır olacaktır.
’dir ve 3 tanedir. Son olarak, 8’in katı olanlarda bir 2
çarpanı daha bulunacaktır. Bu ise sadece 8 sayısında
vardır ve 1 tanedir. Böylece, 13! sayısının içinde 2
çarpanının sayısı 6 + 3 + 1 = 10 olarak bulunur.

2000! sayısının ondalık yazılımının
sonunda tam olarak kaç 0 vardır? (UMO - 2003)

F n! içinde p asal çarpanının kuvveti F

n sayısının içindeki p asal çarpanının kuvveti,
n’nin p’ye bölünmesinde elde edilen bölüm
B 1 ;
2
n’nin p ’ye bölünmesinde elde edilen bölüm
B 2 ;
3
n’nin p ’e bölünmesinde elde edilen bölüm
B 3 ;
...
k
n’nin p ’e bölünmesinde elde edilen bölüm
B k
olmak üzere, B 1 + B 2 + + B k + de˘ gerlerinin
Yanıt : 499.
toplanmasıyla elde edilir.
Ya da, n sayısı p’ye bölünür. Bölüm, tekrar p’ye
bölünür. Yeni bölüm tekrar p’ye bölünür ve p’den küçük
bir bölüm elde edilinceye kadar bu i¸sleme devam edilir.
Sonra tüm elde edilen bölümler toplanarak, n! sayısı
içindeki p çarpanı sayısı bulunur.
n p
p
B 1 5 10 15 1000 sayısı, 3’ün en fazla
p kaçıncı kuvvetine bölünür?
B 2
B 3
Verilen ifadedeki her bir çarpandan, 5
çarpanını alırsak,
veya
5 10 15 1000 = 5 200 (1 2 3 200) = 5 200 200!
2 3 k
n p n p n p n p
… … olur. O halde, 200! içindeki 3 çarpanının kuvvetini
bulmalıyız.
B 1 B 2 B 3 B k
ise n! içindeki p çarpanının kuvveti B 1 +B 2 +B 3 +
de˘ gerine e¸sittir.

oldu˘ gundan, 3’ün kuvveti 66 + 22 + 7 + 2 = 97
bulunur.