Page 136 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 135
˙ Ilk 100 tek sayının çarpımı P olsun. P 5; 10; 15; :::; 995; 1000 aritmetik dizisinin
k
sayısı; 3 ile bölünecek ¸sekildeki en büyük k sayısı tüm terimlerinin çarpımı olan sayının sondan kaç
kaçtır? (AIME 2006) basama˘ gında sıfır bulunur ? (UAMO- 2000)
˙ Ilk 100 tek sayıyı

1 2 3 199 200 200!
P = 1 3 199 = =
2 4 200 2 100 100!
biçiminde yazabiliriz. 200! içindeki 3 çarpanı
sayısından; 100! içindeki 3 çarpanı sayısını
çıkarmamız yeterlidir. Buna göre; kesrin payında
Yanıt : 197:
200 3 66 3 22 3 7 3
66 22 7 2
2 0 1 1
oldu˘ gundan 66 + 22 + 7 + 2 = 97 tane 3 çarpanı, ve
kesrin paydasında da,

100 3 33 3 11 3 3 3
33 11 3 1
1 0 2 0
oldu˘ gundan 33 + 11 + 3 + 1 = 48 tane 3 çarpanı
oldu˘ gundan, oldu˘ gundan; 97 48 = 49 bulunur.
k ve n pozitif tamsayılar olmak üzere,
((3!)!)! = 3! k n!
ise, k + n sayısının alabilece˘ gi en küçük de˘ ger
kaçtır? (AIME 2003)

5 10 15 20 500 sayısının
((3!)!)! = (6!)! = 720! = 720 719! = 3! 120 719!
a) sa˘ gdan 97’inci rakamı kaçtır?
oldu˘ gundan, k = 120 ve n = 719’dur. O halde,
b) sa˘ gdan 98’inci rakamı kaçtır?
k + n
Bu sayının sonunda kaç sıfır oldu˘ gunu
sayısının alabilece˘ gi en küçük de˘ ger
hesaplayalım.
120 + 719 = 839
5 (2 5) (3 5) (4 5) (100 5) = 5 100 (1 2 3 100)
olur.
= 5 100 100!
e¸sitli˘ gine göre, yeterince 5 oldu˘ gundan 100! içinde kaç
tane 2 çarpanı oldu˘ gunu bulalım.
100 2 = 50; 50 2 = 25; 25 2 = 12;
12 2 = 6; 6 2 = 3; 3 2 = 1
oldu˘ gundan,
1! + 2! + 3! + + 100! sayısının son
50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97
rakamı kaçtır?
tane 2 çarpanı vardır. O halde, 5 100 100! sayısının
sonunda 97 tane sıfır vardır. Buna göre, 97’inci rakam 5!’den sonraki tüm faktöriyellerin son
0 olur. rakamı 0 oldu˘ gundan, sadece,
b) Sayının tüm sıfırları atıılırsa, geriye 0 haricindeki 1! + 2! + 3! + 4!
3
sayılar ve 5 ’ün çarpımıyla elde edilen bir sayı
toplamının son rakamını hesaplamak yeterlidir.
kalmı¸stır. 5 sayısının 0 haricindeki bir sayıyla çarpımı
daima 5’in katı olaca˘ gından 98’inci rakamı 5 olacaktır. 1 + 2 + 6 + 24 = 33
oldu˘ gundan, son rakam 3 bulunur.