Page 138 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 137
1 2 3 n +
+ + + + =? n 2 Z olmak üzere,
2! 3! 4! (n + 1)!
(n + 100) (n + 101) (n + 114)
Verilen toplamdaki her bir terimi 11
parçalayaca˘ gız. sayısının 2 ’e kesinlikle bölünebilece˘ gini, fakat
7
3 ’ye bölünemeyebilece˘ gini gösteriniz.
n (n + 1) 1
=
(n + 1)! (n + 1)!
(n + 1) 1
= 114 100 + 1 = 15
(n + 1)! (n + 1)!
1 1 oldu˘ gundan; bu çarpım daima 15!’e tam bölünecektir.
=
n! (n + 1)! 15! içinde; 2 asal çarpanının en az 11 tane oldu˘ gunu
e¸sitli˘ gi kullanılırsa; göstermeliyiz. 15! içinde, 1 tane 8’e, 3 tane 4’e, ve
7 tane 2’ye bölünen çarpan vardır. Yani verilen ifade
1 2 3 n
11
S = + + + + kesinlikle 2 ’e bölünür.
2! 3! 4! (n + 1)!
¸ Simdi de 15! sayısının içinde 7 tane 3 asal

1 1 1 1 1 1
= + + çarpanının bulunmadı˘ gını görelim. 9’a bölünen 1 tane;
1! 2! 2! 3! 3! 4! 3’e bölünen 5 tane çarpan oldu˘ gundan, 15!; 3’ün en

1 1 fazla 6’ncı kuvvetine bölünebilir. O halde, uygun n
+ +
n! (n + 1)! sayısı seçilerek
1 (n + 100) (n + 101) (n + 114)
= 1
(n + 1)! ifadesinin 3 ’ye bölünemeyece˘ gi görülebilir. Bunun
7
elde edilir. için, çarpanlar arasında 27’nin katı olmayacak ¸sekilde
n seçilebilir. Örne˘ gin, n = 9 alınırsa verilen ifade
7
3 ’ye bölünemeyecektir.

1 2 3 99
+ + + + toplamı neye
2! 3! 4! 100!
e¸sittir? (UMO - 1995)
n 2 Z için,
(n + 127) (n + 128) (n + 141)
11
sayısının 2 ’e tam bölündü˘ günü gösteriniz.

1 141 127 + 1 = 15
Yanıt : 1 :
100!
oldu˘ gundan; bu çarpım daima 15!’e tam bölünecektir.
O halde; 15! içinde; 2 asal çarpanı 11 tane oldu˘ gundan,
11
verilen sayı her n tamsayısı için 2 ’e tam bölünür.

F Ardı¸sık n Sayının Çarpımı F

F Wilson Teoremi : F
Ardı¸sık n tane tamsayının çarpımı n! ile bölünür.
Örne˘ gin, p bir asal sayı olmak üzere;
1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 (p 1)! 1 (mod p)
çarpımı kesinlikle 7 ile tam bölünür. denkli˘ gi sa˘ glanır.