Page 137 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
136 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
T = 1! + 2! + 3! + + 1997! + 1998! A¸sa˘ gıdaki toplamı bulunuz.
toplamının son iki basama˘ gındaki rakamların toplamı 1 1 1 1
kaçtır?(UAMO - 1998) 1 2 19 + 1 2 18 20 + 1 2 9 20 + + 2 19 20
Tüm paydaları 20!’de e¸sitleyebiliriz. Buna
göre,
20 19 18 1 1 + 2 + + 20
+ + + + =
20! 20! 20! 20! 20!
20 21 21
= =
˙ Ipucu : 10!’den sonraki sayıların son iki basama˘ gı 2 20! 2 19!
bulunur.
0 olaca˘ gından, son iki basama˘ gı etkilemeyecektir.
1!’den 9!’e kadar olan sayıların son iki rakamlarını
bulup toplamak yeterlidir.

1 1! + 2 2! + 3 3! + + 100 100! toplamını 1! 2! 3! 10!
ifadesinin bir rasyonel
y
hesaplayınız. 2 x!
sayının karesi olabilmesi için
Her bir terimi a¸sa˘ gıdaki gibi yazalım. x ve y pozitif tamsayıları kaç olmalıdır?
1 1! = (2 1) 1! = 2 1! 1! = 2! 1!
2 2! = (3 1) 2! = 3 2! 2! = 3! 2!; Faktöriyelli ifadeleri tamkare olacak
3 3! = (4 1) 3! = 4 3! 3! = 4! 3!; ¸ sekilde düzenlersek,
2
2
2
4 4! = (5 1) 4! = 5 4! 4! = 5! 4!; 1! 2! 3! 10! 1! 2 (3!) 4 (5!) (9!) 10
y
y
2 x! = 2 x!
100 100! = (101 1) 1! = 101! 100! 2 4 6 8 10 A 2
=
Bu e¸sitlikler taraf tarafa toplanırsa, 2 x!
y
1 1! + 2 2! + 3 3! + + 100 100! = 101! 1 (2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5) A 2
= y
elde edilir. 2 x!
5
2 5! A 2
Not : k k! formundaki her bir terimi, =
y
2 x!
k k! = ((k + 1) 1) k! = (k + 1)! k!
olur. Bu ifadenin tamkare olması için, y = 1 ve x = 5
biçiminde ayırarak, alınmalıdır.
1 1! + 2 2! + 3 3! + + n n! = (n + 1)! 1
oldu˘ gu görülebilir.

21!22!23! 30!
ifadesinin bir rasyonel
11!12!13! 20!
sayının karesi olması
S = 1 (1!)+2 (2!)+3 (3!)+ +10 (10!) için, en küçük hangi pozitif tamsayıyla çarpılması
toplamını bulunuz. (UAMO - 1996) gerekir?

Yanıt : 11! 1: Yanıt : 11 13 3: