Page 18 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 17

Altı yüzüne 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları yazılı F E¸sitsizlik I¸saretleri F
˙
olan bir küp yüzlerinden biri üstünde dururken,
yan yüzlerindeki dört sayının toplamı 14’tür. a < b ifadesi, a’nın b’den küçük oldu˘ gunu ifade eder
Aynı küp, ba¸ska bir yüzü üstünde dururken, ve "a küçüktür b’den" ¸seklinde okunur.
yan yüzlerindeki sayıların toplamı 17 ise, 6’nın a > b ifadesi de a’nın b’den büyük oldu˘ gunu ifade
bulundu˘ gu yüzün kar¸sısındaki yüzde hangi sayı eder "a büyüktür b’den" ¸seklinde okunur.
vardır? (U ˙ IMO - 2004) a b ifadesi, a’nın b’den küçük veya a’nın b’ye e¸sit
oldu˘ gunu ifade eder. "a küçük e¸sit b" ¸seklinde okunur.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21’dir. Birinci a b ifadesi, a’nın b’den büyük veya a’nın b’ye e¸sit
durumda, yan yüzler toplamı 14 ise alt ve üstün oldu˘ gunu ifade eder. "a büyük e¸sit b" ¸seklinde okunur.
toplamı 7 olur ki, alt-üst (6; 1) ; (5; 2) veya (4; 3)
˙
durumlarından biri olabilir. Ikinci durumda, yan yüzler
toplamı 17 ise, alt ve üstün toplamı, 4’tür. Yani, 1 ve
3 kesinlikle kar¸sı kar¸sıyadır. O halde, ilk duruma göre
1’in kar¸sısında 6 ve 3’ün kar¸sısında 4 olma durumu
mümkün de˘ gildir ve 5 ile 2 kar¸sı kar¸sıyadır. Böylece,
6’nın kar¸sısında 4 olmak zorundadır.
Boyları birbirinden farklı 6 çocu˘ gun,
herhangi ikisinin boyları toplanarak en az kaç
farklı toplam elde edilebilir.

Herhangi ikisinin farkı 5’in katı
olmayacak ¸sekilde, iki basamaklı en fazla kaç sayı
bulunabilir?

˙ Iki basamaklı sayıları a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde,
herhangi ikisinin farkı 5’in katı olmayacak ¸sekilde, 5
kümeye ayırabiliriz. Bu kümeler :
f10, 15,:::,95g ; f11,16,:::,91,96g ; f12,17,:::,97g ;
f13,18,:::,98g ; f14,19,:::; 99g.
Bu kümelerin her birinden sadece 1 eleman alabiliriz. 6 çocu˘ gu, a; b; c; d; e; f ile gösterelim.
Aksi halde, farkı 5’in katı olan iki eleman olmu¸s olur. Boylar farklı oldu˘ gundan, küçükten büyü˘ ge
O halde, en fazla 5 sayı yazabilir. a < b < c < d < e < f
¸ seklinde sıralayalım.
a + b < a + c < a + d < a + e <
< a + f < b + f < c + f < d + f < e + f
¸ seklinde bir sıralama kesinlikle yapılabilir.
Böylece en küçü˘ gü
Ahmet tahtaya, herhangi ikisinin farkı iki
e¸sit rakamdan olu¸san bir sayı olmayacak ¸sekilde, en a + b
fazla kaç iki basamaklı sayı yazabilir? (U ˙ IMO - 2008)
ve en büyü˘ gü
e + f
olan 9 farklı toplam elde etmi¸s olduk.

Yanıt : 11.