Page 146 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 145
r
q p p
F Irrasyonel Sayıların Bazı Özellikleri F 12 + 12 + 12 + =?
˙

F Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı da Verilen ifadenin tamamına x diyelim.
p
irrasyoneldir. (Örne˘ gin, 3 + 2 irrasyoneldir.) r
q p
˙
F Iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel olabilir. p
p p 12 + 12 + 12 + = x
( 3 3 = 3)
F Bir irrasyonel sayının karekökü rasyonel olamaz. e¸sitli˘ ginde, her iki tarafın karesi alınırsa,
p p r
( 2 + 3 irrasyoneldir.) q p p 2
F p a rasyonel ise, a’da rasyoneldir. 12 + 12 + 12 + 12 + = x
r
q
p p
olur. 12 + 12 + 12 + = x idi. O halde,
2
2
12 + x = x veya x x 12 = 0
bulunur. x = 4 bu denklemi sa˘ glar. O halde, verilen
ifade 4’e e¸sittir.
Kaç tane n pozitif tamsayısı için
s
r
q
p
n + n + n + n
tamsayıdır? (UMO - 2008)
r
q
p p
s
r 12 12 12 =?
q
p
n + n + n + n 2 Z
olması için,
r
q
p
n + n + n 2 Z
p p
olmalıdır. Bunun için de, n + n 2 Z olması
p p
gerekir. Bu durumda, n tamsayı olmalıdır. n = x
2
yani, n = x olsun.
p p p 2 p
n + n = x + x = x (x + 1) 2 Z
Yanıt : 3.
olmalıdır. Fakat, ardı¸sık iki tamsayının çarpımının
karekökü bir tamsayı olamaz. O halde, verilen ifade,
+
n 2 Z iken, asla bir tamsayı olamaz.
p p p
x ve x x ifadeleri tamsayı olacak
¸ sekilde kaç x tamsayısı vardır?

x = 0 ve x = 1 için, her ikiside tamsayıdır. F Yüksek Deredecen Kökler ve Özellikleri F
x > 1 için, n; m 2 Z için,
p p p p
x = n ve x x = m a ifadesinde kökün derecesi 2’dir fakat 2 yazılmaz.
2
2
2
2
olsun. Buradan, n n = m olmalıdır. m < n ’dir. Fakat, daha yüksek derecelerde bu derece mutlaka
yazılmalıdır. Örne˘ gin,
Di˘ ger taraftan, p
3 a ifadesi a sayısının küpkökü,
2
2
2
(n 1) = n 2n + 1 < n n p
n
a ifadesi de a sayısının n’inci dereceden
oldu˘ gundan, köküdür.
p
2 2 2 n sayısının çift sayı olması durumunda, n a
(n 1) < m < n
ifadesinde a negatif olamaz.
elde edilir ki, buradan n 1 < m < n sonucu çıkar.
Bu ¸sekilde (m; n) ikilisi yoktur. O halde, sadece x = 0
ve x = 1 için her ikisi de tamsayıdır.