Page 148 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 147
p
5
2000 n sayısı tamsayı olacak ¸sekilde
2000’den küçük kaç pozitif tamsayı vardır? 99 99 99 99
P = 1 1 1 1
1 3 5 49
p
oldu˘ guna göre, 3 P sayısının bir tamsayı olması
için P sayısı en küçük hangi pozitif tamsayı ile
çarpılmalıdır?

Parantezdeki i¸slemleri yaparak P’yi bulalım.
98 96 94 92 50
P =
1 3 5 7 49
2 49 2 48 2 47 2 25
=
1 3 5 49
25
2 49 48 47 25
Yanıt : 2. (n = 50 ve n = 1600) =
1 3 5 49
olur. Faktöriyel kısmındaki hesapladı˘ gımız gibi,
49!
1 3 5 49 =
24
2 24!
oldu˘ gunu görebiliriz. Buna göre çarpım
49!
25
2
P = 24! = 2 49
49!
24
2 24!
p
bulunur. O halde, 3 P sayısının tamsayı olması için,
2’nin üssünün 3’ün katı olması gerekir. Yani, P sayısı
3 3 bir satranç tahtasında, her sıradaki, 2
en küçük 2 = 4 ile çarpılırsa,
sütundaki ve kö¸segendeki sayıların çarpımı e¸sittir.
p p p
2
Bu kareye 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ve 256 sayıları 3 4P = 3 2 2 49 = 3 2 51 = 2 17
yerle¸stirilecektir. Buna göre, ortadaki karede kaç
bulunur.
olmalıdır?

˙
Her bir satırdaki sayıların çarpımı x olsun. Bu F Köklü Ifadelerde Sıralama F
3
durumda, tüm satırların çarpımı x olur. Yani, tüm +
sayıların çarpımının küp kökünü alırsak, herhangi n 2 Z için,
p p p
bir satır, sütun veya kö¸segendeki sayıların çarpımını a < b < c ise n a < n b < n c
bulmu¸s oluruz.
biçiminde sıralanır. Bu özelli˘ gin kullanılabilmesi için,
a b c farklı dereceden verilen köklerin derecelerinin e¸sitlen-
d e f mesi gerekir.
g h i
Buna göre,
0 1 2
1 2 4 256 = 2 2 2 2 8
= 2 0+1+2+ +8 p p p
4
3
a = 2; b = 3; c = 5 sayılarını
= 2 36 sıralayınız.
p
oldu˘ gundan, 3 2 36 = 2 12 sayısı ortak olan çarpımdır.
O halde, yukarıdaki tablo ¸sekildeki gibi harflendirilirse, Tüm dereceleri e¸sitleyelim. Dereceler 2, 3,
4 oldu˘ gundan 12’de e¸sitlenir.
(aei) (gec) (def) 12
p
p
= 2 p 12 6 12
(adg) (cfi) a = 2 = 2 = 64;
p
p 12 12
p
3
4
e¸sitli˘ gine göre, ortadaki kare b = 3 = 3 = 81;
p
p 12 12
p
4
3
4
e = 2 = 16 c = 5 = 5 = 125
bulunur. oldu˘ gundan, c > b > a olur.