Page 150 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 149
x y z 1 1 1
+ + = 10 ve xyz = 5 ise + + = 10 oldu˘ guna
yz zx xy a b b c c a
göre,
2
2
2
x + y + z =?
b c c a a b
+ + =?
(a b) (a c) (b c) (b a) (c a) (c b)
Verilen ilk e¸sitlikte paydaların e¸sit olması
için, kesirler sırasıyla x; y ve z ile geni¸sletilmelidir. ˙ Istenen ifadedeki her bir kesirin payına
Buna göre,
uygun harf ekleyip çıkararak,
2
2
x 2 y 2 z 2 x + y + z 2 b c (b a) + (a c) 1 1
+ + = 10 veya = 10 = = +
xyz yzx xyz xyz (a b) (a c) (a b) (a c) a b c a
olur. xyz = 5 oldu˘ gundan, içler dı¸slar çarpımı
yapılarak, c a = (c b) + (b a) = 1 + 1
(b c) (b a) (b c) (b a) b c a b
2
2
2
x + y + z = 50
a b (a c) + (c b) 1 1
bulunur. = = +
(c a) (c b) (c a) (c b) c a b c
biçiminde yazabiliriz. Buna göre,
b c c a a b
+ +
(a b) (a c) (b c) (b a) (c a) (c b)
a b b c c a
+ + = 0 ise, toplamı,
ac ba cb
1 1 1
ab + ac + bc =? 2 + + = 20
2
2
a + b + c 2 a b b c c a
elde edilir.
Paydaları e¸sitlemek için kesirleri sırasıyla,
b; c ve a ile geni¸sletirsek,
ab b 2 bc c 2 ca a 2
+ +
abc bac cba

2
2
ab + ac + bc a + b + c 2
=
abc
= 0
˙ Iki Kare Farkının Çarpanlara Ayrılması
e¸sitli˘ ginden,
2
2
ab + ac + bc = a + b + c 2
F Iki Kare Farkının Çarpanlara Ayrılması F
˙
olur. Buna göre,
2
2
ab + ac + bc a + b + c 2
= = 1
2
2
2
a + b + c 2 a + b + c 2 a b = (a b) (a + b)
2
2
2
bulunur.
Örnekler :
2
x 4y 2 = (x 2y) (x + 2y) ;
b + 2c a a + 2c b a + b 2c
4
2
2
+ = x 1 = x 1 x + 1
2bc 2ac ab

2
oldu˘ guna göre, = (x 1) (x + 1) x + 1 ;
2
2
2 4
a + b + c 2 9 16x y = 3 4xy 2 3 + 4xy 2 ;
2
10c + 4ab
kaçtır? (U ˙ IMO - 2008)
A¸sa˘ gıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
2
2
a) x 9y : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
4
b) 1 4x : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2 4
1 c) 144 4y x : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
2
2
2
Yanıt : a + b + c = 5c + 2ab oldu˘ gu görülerek,
p
2 d) x y = x ( y) : :::::::::::::::::::::::::::
2
2
2
bulunabilir.