Page 149 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
148 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
p p p Çarpanlara Ayırma
6
a = 2; b = 3 3 ve c = 5
sayılarını sıralayınız.
Harfli ifadelerdeki i¸slemlere daha önce kısaca
de˘ ginmi¸stik. Bu bölümde, harfli ifadelerdeki
i¸slemlerimizi biraz daha geli¸stirece˘ giz. Sonra da
çarpanlara ayırmayı görece˘ giz. ¸Simdi, harfli ifadelerle
ilgili basit bir soruyla ba¸slayalım.

Yanıt : c > a > b:

2
2
2
xyz = 2; x = y + z ve
(x y + z) (x + y z) = 1
ise x =?
F Bir Sayının Kökü ve Kendisi Arasındaki Ili¸skiF
˙

+
n 2 Z olmak üzere, (x y + z) (x + y z) = 1 ifadesinde
p çarpımı açarsak,
i) a > 1 pozitif reel sayısı için, n a < a’dır. (Örne˘ gin,
p
2
2
2
3 (x y + z) (x + y z) = 2yz + x y z = 1
8 < 8)
p
ii) 0 < a < 1 pozitif reel sayısı için, n a > a’dır. 2 2 2 2
p olur. Burada, x = y + z ve yz = yazılırsa,
(Örne˘ gin, 3 1=8 > 1=8) x
iii) n tek sayı olmak üzere, a negatif reel sayısı için, 4
p p = 1
n a > a’dır. (Örne˘ gin, 3 8 > 8) x
olaca˘ gından, x = 4 bulunur.
˙
F Harfli Ifadelerde Payda E¸sitleme
p
x = 0; 999999999 ise, 3 x sayısının ondalık
Harfli ifadelerde de, rasyonel sayılardaki gibi, payda
açılımında virgülden sonraki ilk dokuz basamaktan
e¸sitlemesi yapılabilir. En genel halde, her bir kesir
kaç tanesi 9 olur? (U ˙ IMO - 1998)
di˘ ger kesirin paydasındaki terim ile geni¸sletilir. Harfli
p ifadelerin nasıl çarpıldı˘ gını ve toplandı˘ gını daha önce
0 < x < 1 ise x < 3 x olaca˘ gından,
p görmü¸stük.
x = 0; 999999999 için, 3 x sayısının virgülden sonraki
ilk 9 rakamının 9 olaca˘ gı kesindir.

xyz = 1 ve xy + xz + yz = 5 olsun.
9 9
2; ; ; 3 sayılarının hangilerinin 1 1 1
10 10 + +
küpkökü kendisinden büyüktür? x y z
kaçtır?

1 1 1
+ + ifadesinde, kesirleri sırasıyla
x y z
yz; xz ve xy ile geni¸sletelim. Bu durumda, tüm
paydalar xyz olacaktır. Böylece,
yz xz xy xy + xz + yz 5
9 + + = = = 5
Yanıt : ve 3: xyz xyz xyz xyz 1
10
elde edilir.