Page 153 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
152 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
1 ile 500 arasındaki tamsayılardan kaç
tanesi negatif olmayan iki tamsayının kareleri farkı
2
2
n m = 124
olarak yazılabilir?
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (n; m) pozitif tamsayı ikilisi
vardır? (U ˙ IMO - 2003)
2
2
(n + 1) n = 2n + 1
oldu˘ gundan tüm tek sayıları iki kare farkı olarak
2
2
n m = (n m) (n + m) = 124 yazabiliriz.
2
2
e¸sitli˘ ginde, n m ve n + m çarpanlarının her ikisi (n + 1) (n 1) = 4n
birden tek veya her ikisi birden çift oldu˘ gundan,
oldu˘ gundan; 4’e bölünebilen tüm sayıları da iki kare
n m = 2 ve n + m = 62 farkı olarak yazabiliriz. Böylece;
olabilir. Taraf taraf toplarsak n = 32; buradan da
4n; 4n + 1 (tek) ve 4n + 3 (tek)
m = 30 bulunur.
formundaki sayıları iki kare farkı olarak yazabile-
ce˘ gimizi göstermi¸s olduk. 4n + 2 formundaki sayıları
da iki kare farkı olarak gösterip gösteremeyece˘ gimizi
görelim.
x = 4n + 2 = 2 (2n + 1)
oldu˘ gundan x sayısı mutlaka bir tek ve bir çift sayının
çarpımı ¸seklindedir. Fakat;
2
2
x = a b = (a b) (a + b)
2
2
n m = 60
ifadesinde; (a b) ve (a + b) ifadelerinin her ikisi de
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (n; m) pozitif tamsayı ikilisi ya tek yada çift sayıdır. Birinin tek birinin çift olması
vardır? mümkün de˘ gildir. O halde;
x = 4n + 2
formundaki sayılar iki kare farkı olarak
yazılamazlar.
1
Buna göre; 1 ile 500 arasındaki sayıların ’ü iki kare
4
farkı olarak yazılamaz ve sonuç olarak yazılabilenlerin
3
sayısı 500 = 375 bulunur.
4

Yanıt : 2; f(8; 2) ; (16; 14)g :

x ve y tamsayı olmak üzere;

2
2
x y = 1996
100’den küçük pozitif sayılardan kaç
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (x; y) sıralı ikilisi vardır? tanesi; m ve n tamsayılar olmak üzere
(UMO - 1996) 2 2
n m
formunda yazılamaz?

Yanıt : 4. Yanıt : 25.