Page 152 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 151
2
n
5 256 1 sayısı 2 ’e bölünüyorsa; n en çok x = p p p ise
3 + 1 4 3 + 1 8 3 + 1
kaç olabilir?
(x + 1) 32 =?
Verilen ifadenin pay ve paydasını

4
2
5 256 1 = (5 1) (5 + 1) 5 +1 5 +1 p
8
64 128 3 1 ile çarpalım. Bu durumda,
5 +1 5 +1 p
2 8 3 1
¸ seklinde çarpanlara ayırabiliriz. Bu e¸sitli˘ ge göre; x = p p p p

3 + 1 4 3 + 1 8 3 + 1 8 3 1
k
5 2 + 1; k = 0; 1; :::; 7
| {z }
p
4
ifadelerinin her biri çift sayı oldu˘ gundan ve 5 1 = 4 ( 3 1)
oldu˘ gundan; bu sayı en az 2’nin 8 + 2 = 10’uncu 2 p 3 1
8
kuvvetiyle bölünür. = p p p

3 + 1 4 3 + 1 4 3 1
k
5 2 + 1
| {z }
p
ifadeleri 2’nin daha büyük kuvvetlerine bölünemez; 4’e ( 3 1)
p
bölündüklerinde daima 2 kalanını verirler. 2 8 3 1 p
= = 8 3 1
2
(5 2 k + 1 1 + 1 2 (mod 4)): bulunur. Böylece,
p 32
Yani, n en fazla 10 olabilir. (x + 1) 32 = 8 3 = 81
bulunur.

F Iki Kare Farkında Tek-Çift Çarpanlar F
˙

a; b 2 Z için,
2
2
a b = (a b) (a + b)
e¸sitli˘ ginde, sa˘ g taraftaki a b ve a+b çarpanlarının her
ikisi de, ya tek yada çifttir. Biri tek, biri çift olamaz.
2
2
Bu nedenle, a b ifadesinin bir tek sayı ile bir çift
sayının çarpımı olması mümkün de˘ gildir.
2 2 2 2 99 a
(2+1) 2 +1 (2 +1) (2 +1) = 2 1
k sayısının 2005, 2006, 2007, 2008 ve 2009
e¸sitli˘ gine göre a kaçtır?
de˘ gerlerinden hangisi için
2
2
E¸sitli˘ gin sol tarafını P ile gösterelim ve x y = k
P’yi (2 1) ile çarpalım. e¸sitli˘ gini sa˘ glayan (x; y) tamsayı ikilisi yoktur?
2 2 2 2 99 (UMO - 2005)
(2 1)P = (2 1)(2+1) 2 +1 (2 +1) (2 +1)
| {z }
(2 2 1)
˙
olur. Iki kare farkı özde¸sli˘ gimizi tekrar kullanarak 2005 = 1 2005; 2007 = 1 2007;

2 2 2 2 2 99
P = 2 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2009 = 1 2009; 2008 = 4 502
| {z }
(2 2 2 1) oldu˘ gundan, 2005; 2007; 2009 iki tek sayının çarpımı
olarak, 2008’de iki çift sayının çarpımı olarak
elde edilir ve bu ¸sekilde devam edersek;
100 yazılabilir. Fakat, 2006 sayısı iki tek sayının veya iki
2
P = 2 2 1 çift sayının çarpımı olarak yazılamaz. O halde, x y 2
formunda yazılması mümkün de˘ gildir?
bulunur. O halde a = 2 100 elde edilir.