Page 154 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 153
n
3 sayısının; 22p + 1 sayısını tamkare yapan kaç p asal
sayısı vardır?
2
2
2
2
2
2
2
2
P = (100 99 )(99 98 ) (3 2 )(2 1 )
2
çarpımını bölmesini sa˘ glayan en büyük n tamsayısı 22p + 1 = x diyelim. Bu durumda,
kaçtır? (U ˙ IMO - 2007)
22p = (x 1) (x + 1)
e¸sitli˘ ginden,
199! 199! 2 11 p = (x 1) (x + 1)
199 197 195 5 3 = =
2 99 (99 98 1) 2 99! yazılır. x 1 ve x + 1 ardı¸sık iki çift sayıdır. Buna
99
= k 3 n göre; p asal sayısı 2 olmalıdır. Fakat, p = 2 olursa,
sayımız tamkare olamaz. Yanıt 0.
e¸sitli˘ gindeki en büyük n sayısını bulaca˘ gız. Buna göre,
199 3 66 3 22 3 7 3
66 22 7 2
oldu˘ gundan, 199!’deki 3 çarpanı sayısı
66 + 22 + 7 + 2 = 97
olur. Yine,
99 3 33 3 11 3 1 3 33p + 1 sayısını tamkare yapan kaç p asal
33 11 3 1 sayısı vardır?
oldu˘ gundan 99! sayısındaki 3 çarpanı sayısı,
2
33p + 1 = x diyelim. Bu durumda,
33 + 11 + 3 + 1 = 48
olur ve P sayısındaki 3 çarpanı sayısı 97 48 = 49 33p = (x 1) (x + 1)
elde edilir. e¸sitli˘ ginden,
3 11 p = (x 1) (x + 1)
yazılır. x 1 ve x + 1 ardı¸sık iki tek sayıdır. Buna
göre; hem 3 hem de 11 çarpanına sahip ardı¸sık tek
p
11p + 169 sayısının bir tamsayı olmasını sayılar 9 11; 33 35 veya 31 33 oldu˘ gundan;
sa˘ glayan en büyük p asal sayısı nedir? x 1 = 9 ve x + 1 = 11 için, p = 3;
x 1 = 33 ve x + 1 = 35 için, p = 35
p
11p + 169 = x ise, (asal de˘ gil) ;
2
11p = x 13 2 x 1 = 31 ve x + 1 = 33 için, p = 31:
bulunur. O halde; istenen ¸sekilde 2 asal sayı vardır.
e¸sitli˘ ginden
11p = (x 13) (x + 13)
olur. Buna göre, en büyük p asal sayısı için;
x + 13 = p ve x 13 = 11
olmalıdır. Buradan; x = 24 ve p = 37 bulunur.

p
17p + 625 sayısının bir tamsayı
olmasını sa˘ glayan en büyük p asal sayısı nedir? (UMO 39p + 1 sayısını tamkare yapan kaç p asal
- 2000) sayısı vardır? (UMO - 2002)

Yanıt : p = 67. Yanıt : p = 41; 37 ve 5 olabilir.