Page 155 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
154 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n ve n + 100 sayılarının her ikisinin de
bölenlerinin sayısı tek olacak ¸sekilde kaç tane n 2 1 2 2 2 4 2 8 2 32
pozitif tamsayısı vardır? S = + + + + +
8
4
2
1
4 1 4 1 4 1 4 1 4 32 1
Bir sayının pozitif bölenlerinin sayısının toplamı, m ve n aralarında asal olmak üzere
tek olması için; sayı tamkare olmalıdır. O halde; m
2
n = x ve n
2
n + 100 = x + 100 = y 2 de˘ gerine e¸sit ise, n m kaçtır?
olmalıdır. Buradan;
2 2
(y x) (y + x) = 100 = 2 5 Her bir kesiri iki kısıma ayıraca˘ gız.
1
e¸sitli˘ gine göre her iki çarpanın da çift olması gerekti˘ gi 2 1 2 + 1 1 2 + 1 1
1
göz önüne alınırsa; 4 1 = 4 1 = 4 1 4 1
1
1
1
1
y + x = 50 ve y x = 2 1 1
=
1
1
e¸sitliklerinden; y = 26 ve x = 24 elde edilir. O halde; 2 1 4 1
2
2
2
n = 24 = 576 elde edilir. Yani istenen ¸sekilde 1 sayı 2 2 = 2 + 1 1 = 2 + 1 1
2
2
2
2
vardır. 4 1 4 1 4 1 4 1
1 1
=
2
1
4 1 4 1

¸ seklinde devam ederek,
2 16 2 16 + 1 1 2 16 + 1 1
4 16 1 = 4 16 1 = 4 16 1 4 16 1
n pozitif tamsayısının kaç farklı de˘ geri 1 1
=
8
için, (n 210) ve (n + 210) sayılarının ikisi de bir 4 1 4 16 1
tamkaredir? (UAMO - 2006) 2 32 2 32 + 1 1 2 32 + 1 1
= =
4 32 1 4 32 1 4 32 1 4 32 1
1 1
=
4 16 1 4 32 1
yazılabilir. Bunları toplarsak,
1 1 1 1
S = +
1
2
1
1
2 1 4 1 4 1 4 1
Yanıt : 4. 1 1
+ +
4 16 1 4 32 1
1 1 4 32 2
= =
1
2 1 4 32 1 4 32 1
n’nin kaç de˘ gi¸sik tamsayı de˘ geri için bulunur. Pay ve paydanın aralarındaki fark 1’dir ve
n 2 aralarında asaldır. Dolayısıyla,
tamsayı olur? (U ˙ IMO - 1997)
n + 4 n m = 1
A¸sa˘ gıdaki gibi düzenleyelim. olur.
2
n 2 n 16 + 16
=
n + 4 n + 4
(n 4) (n + 4) 16
= +
(n + 4) n + 4
16
= n 4 +
n + 4
16
ifadesinin tamsayı olması için; tamsayı
n + 4
olmalıdır. Buna göre; n + 4; 16’nın bölenleri olmalıdır.
n + 4 = 1; 2; 4; 8 veya 16
olabilir; yani 10 tane n tamsayısı bulunabilir.