Page 158 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 157
3
27000001 sayısı 4 tane asal sayının n + 8 sayısının en çok üç pozitif böleninin
çarpımı oldu˘ gu bilindi˘ gine göre; bu asal sayıların bulunmasını sa˘ glayan kaç n tamsayısı vardır?
en büyü˘ gü kaçtır? (UMO - 2007)

3
n + 8 sayısının en çok üç pozitif böleni
3
3
27000001 = 300 + 1 olmasını istiyoruz. Bunun için; n + 8; p asal sayı
2
olmak üzere; p veya p formunda olmalıdır.
2
= (300 + 1) 300 300 + 1 301 = 7 43
3
2
n + 8 = (n + 2) n 2n + 4
2
oldu˘ gundan; 300 300 + 1 sayısı da iki asal 2
sayının çarpımıdır. Buna göre; e¸sitli˘ gine göre; n + 2 veya n 2n + 4
çarpanlarından biri
2 2
300 300 + 1 = 300 + 2 300 + 1 900 2
1 veya n + 2 = n 2n + 4
2 2
= (300 + 1) 30
olması gerekir. n + 2 = 1 ise, n = 1 ve n + 2 = 1
e¸sitli˘ ginden; ise n = 3 olur. Kontrol edilirse, n = 1 için, 7;
(301 30) (301 + 30) = 271 331 n = 3 için de 19 olur ve ko¸sulumuzu sa˘ glarlar.
2
n 2n + 4 = 1
olaca˘ gından; bu 4 asal sayının en büyü˘ gü 331 olur.
2
ise, n 2n + 3 = 0 olur ve çözüm yoktur.
2
n + 2 = n 2n + 4
2
ise, n 3n + 2 olur ve n = 1 ve n = 2 bulunur. Yine
kontrol edersek, n = 1 ko¸sulumuzu sa˘ glarken, n = 2
4
için 16 = 2 sayısı ko¸sulumuzu sa˘ glamaz. O halde;
istenen ¸sekilde 3 tamsayı vardır.
3
n + 27 sayısının tam iki pozitif böleni
varsa, n kaç olabilir?
3
n + 27 asal olursa, tam iki pozitif böleni
olur. Buna göre,
2
(n + 3) n 3n + 9
˙
e¸sitli˘ gine göre, Küpköklü Irrasyonel Paydaları Rasyonel Yapma

n + 3 = 1; n + 3 = 1
A¸sa˘ gıdaki iki özde¸slik bize, küpköklü paydalı ifadelerin
veya paydasının rasyonel yapılmasını sa˘ glar.
p p p 2 p p 2
3
3
3
3
3
2
2
n 3n + 9 = 1; n 3n + 9 = 1 F a b = ( a p b)( b + p bc + p c )
p
p
2
3
2
F a + b = ( a + 3 b)( b 3 bc + 3 c )
3
olmalıdır. Buradan,
Bunun için,
n + 3 = 1
A
ise n = 2 olur ve sayımız 19 olur ki, ko¸sul sa˘ glanır. p p
3
3
b c
p p p
2
2
¸ seklindeki ifadeler 3 b + 3 bc + 3 c ile
n + 3 = 1
A
ise, n = 4 olur ve sayımız p p
3
b + 3 c
3
( 4) + 27 = 37 ¸ seklindeki ifadeler ise
p p p
olur ki, ko¸sul sa˘ glanır. Di˘ ger yandan, 3 2 3 3 2
b bc + c
2
2
n 3n + 9 = 1 ve n 3n + 9 = 1
ile geni¸sletilerek, paydaları rasyonel hale getirilir. Bu
olacak ¸sekilde n olmadı˘ gından, sadece ifadeler birbirlerinin e¸slenikleridir.
n = 2 ve n = 4
için iki pozitif bölen elde edilir.