Page 160 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 159
2
4
n 5n + 4 ifadesini çarpanlarına A¸sa˘ gıdaki ifadeleri çarpanlara
ayırınız. ayırınız.
2
1) 6x 17x + 12 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
n = x diyelim.
2
2) 3x 10x + 3 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::

2
2
2
x 5x + 4 = (x 4) (x 1) = n 4 n 1 2
3) 6x + x 2 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
olur. 4) 3x + 8x 3 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
2
2
5) 6x + 7x + 2 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
x
x
4 4 2 32 = 0 denkleminin köklerini 2p+1 7 2 + 3 ifadesi asal olacak

p
2

bulunuz. ¸ sekilde kaç p sayısı vardır?
x
x
2 = a diyelim. Bu durumda, 4 = a 2 p
2 = x ise
olaca˘ gından, denklem 2p+1 2p p 2 2
2
a 4a 32 = 0 2 = 2 2 = 2 (2 ) = 2x
haline dönü¸sür. Çarpanlarına ayırırsak, olaca˘ gından,
2
p
(a 8) (a + 4) = 0 olur. Yani, 2 2p+1 7 2 + 3 = 2x 7x + 3 = (2x 1) (x 3)
p
a = 8 veya a = 4 = 2 p+1 1 (2 3)

x
x
3
olmalıdır. a = 2 ’i yerine yazalım. 2 = 8 = 2 ise ¸ seklinde yazılabilir. Bu ifadenin asal olabilmesi için,
x
x = 3 olur. 2 = 4 olması mümkün de˘ gildir. O halde
denklemin tek kökü x = 3’tür.
2 p+1 1 = 1; 2 p+1 1 = 1;
p
p
2 3 = 1; 2 3 = 1
durumlarından biri olmalıdır.
2 p+1 1 = 1 olamaz.
2 p+1 1 = 1 ise, 2 p+1 = 2 ise p = 0;
p
p
2 3 = 1 ise, 2 = 4 e¸sitli˘ ginden p = 2;
p p
F Üç Terimli Ifadelerin Çarpanlara Ayrılması F 2 3 = 1 ise, 2 = 2 e¸sitli˘ ginden, p = 1
˙
bulunur. O halde, sadece üç p sayısı vardır.
2
ax + bx + c ifadesi a = m n ve c = p q olmak üzere,
mq + np = b ise
2
ax + bx + c = (mx + p) (nx + q)
¸ seklinde çarpanlara ayrılır.
2
j15x 32x 28j sayısının asal olmasını
ax² + bx+c sa˘ glayan kaç x tamsayısı vardır? (UMO - 2002)
m p = np
n q = mq ise, ax²+bx+c = (mx+p)(nx+q)
b= np+mq 2
15x 32x 28 = (5x 14) (3x + 2)
ifadesinin asal olabilmesi için, bu çarpanlardan birinin
Örne˘ gin,
1 veya 1 olması gerekir. Buna göre,
6x² + x - 15 5x 14 = 1 ise, x = 13=5 62 Z
2 -3 = -9 5x 14 = 1 ise, x = 3 2 Z
3 5 = 10 ise, 6x²+x-15 = (2x-3)(3x+5) olur. x = 3 için, j3x + 2j = 11 asaldır. Di˘ ger taraftan,

b = 1 3x + 2 = 1 ise x = 1 2 Z
3x + 2 = 1 ise x 62 Z
olur. x = 1 için, j5x 14j = 19 asaldır. O halde
istenen ¸sekilde iki x tamsayısı vardır.