Page 161 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
160 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
p p p p
a + b = 2 + 3 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan n pozitif bir tamsayı olmak üzere;
kaç (a; b) pozitif rasyonel sayı ikilisi vardır? (Baltık n + 8n + 15
2
4
Way M.O. 2002) 4 2
n + 10n + 24
p p p p kesirinde, n yerine, Alper 1453, Metin 1923, Tu˘ gra
a + b = 2 + 3 e¸sitli˘ ginin her iki
1040, Berk ise 1299 yazıyor. Hangilerinin kesiri
tarafının karesi alınırsa,
p p sadele¸sir?
a + b + 2 ab = 2 + 3
elde edilir. Bu e¸sitli˘ ge göre, Verilen kesiri çarpanlarına ayırırsak,
a + b = 2 ve ab = 3=4 4 2 2 2
n + 8n + 15 n + 5 n + 3
olması gerekir. Bu iki denklemden, a (2 a) = 3=4 (n + 10n + 24) = (n + 4) (n + 6)
2
4
2
2
olur. Düzenlenirse,
olur. Ardı¸sık iki sayı aralarında asaldır. Yani kesir
2
4a 8a + 3 = (2a 1) (2a 3) = 0 durumunda sadele¸smezler.

2
2
e¸sitli˘ ginden, n + 3 ile n + 4 ;
2 2
a = 1=2 veya a = 3=2 n + 5 ile n + 6 ,
2 2
n + 4 ile n + 5
bulunur. Bu e¸sitliklerden de, sırasıyla,
aralarında asal olduklarından; sadece
b = 3=2 ve b = 1=2
2
2
n + 3 ile n + 6
elde edilir. Yani, istenen ¸sekildeki (a; b) ikilileri,
(1=2; 3=2) ve (3=2; 1=2) bulunur. ifadelerinin sadele¸sme ¸sartını aramamız yeterlidir.
Buna göre;
2 2 2
EBOB n + 6 ; n + 3 = EBOB 3; n + 3
2
= EBOB 3; n
olmalıdır. Bu ise n = 3k olmasıyla mümkündür.
Yani, n sayısı 3’ün katı ise, kesir sadele¸sir. Aksi
halde sadele¸smez. Buna göre, 3’e bölünme kuralı
hatırlanırsa, Berk ve Metin’in kesirlerinin sadele¸sece˘ gi
4
2
n + 4n + 3 görülür.
4
2
n + 6n + 8
ifadesi 100’den küçük kaç tane n pozitif tamsayısı
için sadele¸stirilebilir?
1 1 1 1
Verilen kesiri çarpanlarına ayırırsak, S = + + + +
2
2
3 + 1 4 + 2 5 + 3 10 + 8
2
2
2 2
2
4
n + 4n + 3 n + 1 n + 3 toplamını hesaplayınız.
=
4
2
2
2
n + 6n + 8 (n + 4) (n + 2)
olur. Buna göre, Her bir terim
2 2
n + 3 ; n + 2 = 1 ve 1
2 2
2
n + 3 ; n + 4 = 1 n + (n 2)
oldu˘ gundan formundadır. Buna göre,
2 2 2
n + 3 ; n + 2 n + 4 = 1 1 1 1 1
=
2
2
olur. ¸Simdi de, n + 1 ifadesinin kesrin paydasıyla n + n 2 3 n 1 n + 2
sadele¸sip sadele¸smedi˘ gine bakalım. biçiminde kesirlere ayrılabilece˘ ginden,
2 2
n + 1 ; n + 2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S = + +
2 2
oldu˘ gundan sadece; n + 1 ve n + 4 sayılarının 3 2 5 3 3 6 3 4 7

ortak böleni olup olmadı˘ gını inceleyece˘ giz. 1 1 1 1 1 1
2 2 2 + + +
n + 1 ; n + 4 = n + 1 ; 3 3 5 8 3 9 12

2
2
olur. n + 1 = 3k ise, n = 3k 1 = 3p + 2 elde = 1 1 + 1 + 1 1 1 1
edilir. Fakat; bir sayının karesinin 3’e bölümünden 3 2 3 4 10 11 12
kalan ya 1 ya da 0 olaca˘ gından böyle bir n sayısı 89
2 =
yoktur ve n + 1 ; 3 = 1 olur. Buna göre; kesir 330
asla sadele¸semez. bulunur.