Page 163 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
162 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
5
4
4
2
T = x 4x + x + 2 ifadesini çarpanlara S = 4 + 5 sayısının pozitif bölenlerinin
ayırınız? sayısını bulunuz.
4
4
2
4
5
4 + 5 = 4 4 + 5 ifadesine 4 4 5 2
ekleyip çıkaralım. Bu durumda,
2
4
T = x 4x + x + 2
4
4
2
2
2
S = 4 4 + 5 + 4 4 5 4 4 5 2

2
= x 2 x 4 + (x + 2)
2 2 2 2 2

2
= x (x 2) (x + 2) + (x + 2) = 5 + 2 4 4 4 5
2
2 = 57 40 2
= (x + 2) x (x 2) + 1
3 2 = (57 + 40) (57 40)
= (x + 2) x 2x + 1
= 97 17
3 2 2
= (x + 2) x x x + 1
olur. O halde, pozitif bölenlerinin sayısı
2
= (x + 2) x (x 1) (x 1) (x + 1)
(1 + 1) (1 + 1) = 4
2
= (x + 2) (x 1) x x 1 :
elde edilir.
8
4
Kaç tane n tamsayısı için, n 3n + 1 9 4
4 +9 sayısının en büyük asal çarpanının
ifadesi bir asal sayıdır?
881 oldu˘ gunu görünüz.
4
8
n 3n +1 ifadesini çarpanlara ayırmaya
4
4
çalı¸salım. Bunun için, 3n ifadesini 2n n 4
biçiminde ayıralım.
4
4
8
8
n 3n + 1 = n 2n + 1 n 4
4 2 2 2
= n 1 n
4 2 4 2
= n 1 n n 1 + n
elde edilir. n > 1 ve n < 1 için, ifadenin her iki
4
8
çarpanı da 1’den büyük olaca˘ gından, n 3n + 1
ifadesi asal sayı olmayacaktır. O halde, n = 0; 1 ve 9 4
Yanıt : 4 + 9 = 5 61 881 oldu˘ gunu görünüz.
1 de˘ gerlerine bakalım. n = 0 için, ifade asal de˘ gildir
8
4
ve n = 1 için ise, n 3n + 1 ifadesi negatif
olaca˘ gından yine asal sayı olmayacaktır. O halde,
8
4
n 3n + 1 ifadesi asla bir asal sayı olamaz.
4
n + 4 asal sayı olacak ¸sekilde kaç pozitif
n tamsayısı vardır?
n = 1 için sayının asal oldu˘ gu açıkca
2
görülür. x + x + 1 ifadesini çarpanlara ayırınız.

2
2
2
4
4
n + 4 = n + 4n + 4 4n = n + 2 2 (2n) 2
Bu ifadeyi, bu haliyle çarpanlara ayırmak
2 2
= n + 2 2n n + 2 + 2n zordur, fakat, ifadeye x ekleyip çıkarırsak,
¸ seklinde çarpanlara ayrılabilir. n > 1 oldu˘ gunda bu x + 2x + 1 x = (x + 1) p 2
2
2
x
4
çarpanlar 1’den büyük olacaktır. Dolayısıyla, n + 4 p p
sayısının asal sayı olması, n = 1’den ba¸ska durumda = x + 1 x x + 1 + x
mümkün de˘ gildir. ¸ seklinde çarpanlara ayrılabilir.