Page 164 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 163
p
p 4 sayısı bir tamsayının dördüncü n = (1234) (1235) (1236) (1237) + 1
kuvveti olacak ¸sekilde kaç tane p asal sayısı vardır? sayısının son iki basama˘ gı kaçtır?

4
2
p 4 = n olsun. 4n ekleyip çıkaralım. 1234 = x diyelim. Bu durumda,
Bu durumda, yukarıdaki gibi çözeriz.

4
4
2
p = n + 4 = n + 4n + 4 4n 2 n = p x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1
2 2 p
= n 2n + 2 n + 2n + 2 = (x + 3x) (x + 3x + 2) + 1
2
2
e¸sitli˘ gine göre; n > 1 için; her iki çarpan da 1’den = x + 3x + 1
2
büyük olaca˘ gından; p asal olmaz.
olur. O halde,
4
n = 1 için, p 4 = n e¸sitli˘ ginden p = 5’tir ve 2
n = (1234) + 3 (1234) + 1
asaldır.
O halde, sadece 1 asal sayı vardır. ifadesine e¸sittir. Son iki basama˘ gındaki rakamları
bulmak istedi˘ gimiz için,
2
(34) + 3 (34) + 1
i¸sleminin sonucundan, son iki rakamın 59 oldu˘ gu
görülür.
n
S = 3 2n+1 2 2n+1 6 ifadesi asal olacak
¸ sekilde kaç n pozitif tamsayısı vardır?
n = 1 için, 27 8 6 = 13 asaldır. ¸Simdi
ifademizi çarpanlara ayırmaya çalı¸salım. T = (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) + 5
ifadesinin alabilece˘ gi minimum de˘ ger kaçtır?
2n+1
2n+1
n
S = 3 2 6
n n
n n+1
n n+1
= 3 3 2 2 2 3
n n+1
n n
n n+1
n n
= 3 3 2 2 3 2 3 + 2 3 2 T = (a + 1) (a + 4) (a + 2) (a + 3) + 5
n n+1
n n+1
n n+1
n n+1
= 3 3 2 3 2 2 + 3 2 = a + 5a + 4 a + 5a + 6 + 5

2
2
n
n
n
n
= 3 n+1 (3 2 ) + 2 n+1 (3 2 ) ¸ seklinde yazalım. Burada a + 5a + 4 = x denilirse,
2

n
n
= (3 2 ) 3 n+1 + 2 n+1 x (x + 2) + 5 = x + 2x + 5
2
oldu˘ gundan, n > 1 için bu sayı daima bile¸sik sayı = x + 2x + 1 + 4
2
olacaktır. O halde, sadece n = 1 için verilen ifade 2
= (x + 1) + 4
asaldır.
e¸sitli˘ ginden,
T = (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 4) + 5

F S = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 tamkaredir. F = a + 5a + 5 2 + 4
2

2 2
Bu ifadenin tamkare oldu˘ gunu gösterelim. Ardı¸sık elde edilir. a + 5a + 5 ’nin en küçük de˘ geri 0
çarpanlardan birinci ile dördüncüyü, ikinci ile üçüncüyü oldu˘ gundan, verilen ifadenin en küçük de˘ geri 4’tür.
çarpalım.
S = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1
= [a (a + 3)] [(a + 1) (a + 2)] + 1
2 2
= a + 3a a + 3a + 2 + 1
8
1’den 10 ’e kadar olan sayılardan ardı¸sık
2
e¸sitli˘ ginde a + 3a = x diyelim. Böylece, dördünün çarpımı tamkare olan kaç dörtlü vardır?
2
S = (x) (x + 2) + 1 = x + 2x + 1 = (x + 1) 2
n 1; n; n + 1; n + 2 dört ardı¸sık sayı
olur. Yani,
olsun. Bu sayıların çarpımı,
2 2
S = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 = a + 3a + 1 2 2
P+1 = (n 1) n (n + 1) (n + 2)+1 = n + n 1
elde edilir.
oldu˘ gundan, ardı¸sık dört sayının çarpımının 1 fazlası
bir tamkare ise, bu dört sayının çarpımı tamkare
olamaz. Yanıt 0.