Page 166 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 165
3
n
2
1 + x + x + x + + x 31 ifadesini Her n pozitif çift tamsayısı için, 16 3 n
çarpanlarına ayırınız. sayısının 19’a tam bölünebildi˘ gini gösteriniz.
n çift ise, n = 2k (k 2 Z) yazılabilir.

2
3
n
n
x 32 1 = (x 1) 1 + x + x + x + + x 31 16 3 = 16 2k 3 2k
k
oldu˘ gunu biliyoruz. Sol taraftaki ifadeyi iki kare farkını = 256 9 k
kullanarak çarpanlara ayıralım. k 1 k 2 k 1
= (256 9) 256 +256 9+ +9

x 32 1 = x 16 + 1 x 16 1 k 1 k 2 k 1
= 19 13 256 +256 9+ +9
16 8 8
= x + 1 x + 1 x 1
e¸sitli˘ ginden, verilen sayının 19’a bölünebildi˘ gi görülür.
¸ seklinde devam ederek,

8
4
x 32 1 = x 16 + 1 x + 1 x + 1
2
x + 1 (x + 1) (x 1)
˙
bulunur. Buradan, Iki asal sayının be¸sinci kuvvetlerinin
farkına e¸sit olacak ¸sekilde kaç tane asal sayı vardır?
32
x 1 16 8 4 2
= x +1 x +1 x +1 x +1 (x+1)
x 1
p; q ve r asal sayılar olmak üzere
2
olur. Yani, 1 + x + x + + x 31 ifadesi 5 5
p = q r e¸sitli˘ ginin ne zaman sa˘ glanaca˘ gını görelim.
16 8 4 2
x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 (x + 1) 5 5 4 3 2 2 3 4
q r = (q r) q + q r + q r + qr + r
¸ seklinde çarpanlara ayrılır. = (q r) A
5
yazalım. A > q r oldu˘ gu göz önüne alınırsa; q r 5
sayısının asal olması için q r = 1 olmalıdır. Bu
sadece;
p
E˘ ger p asal de˘ gilse 2 1 sayısının da asal q = 3 ve r = 2
olamayaca˘ gını gösteriniz.
durumunda sa˘ glanır. Bu sayıların be¸sinci kuvvetlerinin
farkının asal olup olmadı˘ gını kontrol edelim.
p asal de˘ gilse; a; b > 1 olmak üzere;
5
5
3 2 = 211
p = ab yazılabilir. Buna göre;
a b
p
2 1 = 2 ab 1 = (2 ) 1 olur. 211 sayısı asal oldu˘ gundan istenen ¸sekilde sadece
bir asal sayı vardır.

a 1
a b 1
a b 2
a
= (2 1) (2 ) + (2 ) + + (2 ) +1
p
oldu˘ gundan; 2 1 sayısı da asal de˘ gildir.
˙
˙ Iki Ifadenin n’inci Tek Kuvvetlerinin Toplamının
Çarpanlara Ayrılması

F n-inci kuvvetlerin toplamı F

n
n
Her n pozitif tek tamsayısı için, 3 6n 2 6n n bir tek sayı olması durumunda, a + b ifadesi,
n 1 n 2 n 3 2 1 n 2 n 1
sayısının 19’a tam bölünebildi˘ gini gösteriniz. (a+b) a a b+a b a b +b
¸ seklinde çarpanlara ayrılır. Bu formül n çift ise kul-
3 6n 2 6n ifadesini,
lanılamaz.
2n 2n 2n 2n Örnekler :
3
3
3 2 = 27 8

3
2 2
4
5
3
5
a + b = (a + b) a a b + a b ab + b 4
¸ seklinde yazalım. Bu ifadeyi de, iki kare farkı olarak, 5 4 3 2
n
n
n
n
27 2n 8 2n = (27 8 ) (27 + 8 ) x + 1 = (x + 1) x x + x x + 1

3
2 2
5
4
3
¸ seklinde yazabiliriz. Burada, 32 + a = (2 + a) 2 2 a + 2 a 2a + a 4

n
n
(27 8 ) = (27 8) 27 n 1 +27 n 2 8+ +8 n 1 x 99 + 1 = (x + 1) x 98 x 97 + x 96 x + 1
4
= 19A x + 1’i bu ¸sekilde çarpanlara ayıramayız. Çünkü,
kuvvet 4, yani çifttir.
oldu˘ gundan, 19 ile tam bölündü˘ gü açıktır.