Page 167 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
166 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
n pozitif bir tamsayı olmak üzere,

T = 20 2n + 16 2n 3 2n 1
sayısının hem 17 hem de 19 ile daima bölündü˘ günü
gösteriniz.

Verilen ifadeyi
A¸sa˘ gıdaki ifadeleri çarpanlara ayırınız. 2n 2n 2n
T = 20 + 16 3 1
5
1) x +1 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2n 2n 2n
= 20 3 + 16 1
5
2) 32+x : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2n 1 2n 1 n n
= 17 20 + +3 + (16 +1) (16 1)
5
3) x +y 10 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
¸ seklinde yazabiliriz.
15
5 5
4) 3 x y : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: n n
p n tek ise (16 + 1), n çift ise (16 1) ifadesi 17’ye
5
5
5) x ( 2) : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: bölünecektir.
O halde sayımız 17’ye tam bölünür. ¸Simdi, sayımızı
farklı ¸sekilde gruplayarak benzer i¸slemleri yapalım.
T = 20 2n + 16 2n 3 2n 1
2n 2n 2n
= 20 1 + 16 3
10 99 + 1 sayısının 77’ye bölümünden kalan 2n 1 2n 1 n n n n
= 19 20 + +1 + (16 +3 ) (16 3 )
kaçtır?
yine, benzer ¸sekilde,
n
n
n
n
n tek ise (16 + 3 ), n çift ise (16 3 ) ifadesi 19’a
bölünecektir.
3 33
33
99
10 + 1 = 10 + 1 = 1000 + 1
¸ seklinde yazalım.
1000 33 + 1
n
n
n
ifadesi 101 37 72 +2 3n ifadesinin daima
32 31 29’a bölündü˘ günü gösteriniz.
(1000 + 1) 1000 1000 + 1000 + 1
¸ seklinde çarpanlara ayrılabilir
:1001 = 7 11 13
oldu˘ gundan, 77’ye tam bölünür. O halde verile sayının
77’ye bölümünden kalan 0’dır.
3 101 + 8 101 + 13 101 + + 98 101 sayısının
101’e bölümünden kalan kaçtır?
Her n pozitif tek tamsayısı için,
3 6n 2 6n
3 101 + 98 101 = (3 + 98) ( ) = 101A
sayısının 35 ’e tam bölünebildi˘ gini gösteriniz.
¸ seklindedir. Benzer ¸sekilde,
8 101 + 93 101 = (8 + 93) ( ) = 101B
2n 2n 2n 2n 101 101
3
3
3 2 = 27 8 13 + 88 = (13 + 88) ( ) = 101C
n
n
n
n
= (27 8 ) (27 + 8 )
¸ seklinde yazalım. 48 101 + 53 101 = (48 + 53) ( ) = 101Z

n
n
(27 + 8 ) = (27 + 8) 27 n 1 27 n 2 8 + + 8 n 1 ¸ seklinde olaca˘ gından,
= 35B 3 101 + 8 101 + 13 101 + + 98 101
oldu˘ gundan, verilen sayı 35 ile tam bölünür. sayısının 101’e bölümünden kalan 0’dır.