Page 168 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 167
p bir asal sayı oldu˘ guna göre; Binom Açılımı
2
2 p +1 + 1

formunda yazılabilen 1000’den küçük kaç asal sayı F Binom Açılımı F

vardır? n
F Binom açılımı; (x + y) ifadesinin açılımıdır.
1
2
p = 2 için, 2 p +1 + 1 = 33 sayısı asal (x + y) = x + y
2
2
de˘ gildir. (x + y) = x + 2xy + y 2
3
2
2
3
p = 3 için, (x + y) = x + 3x y + 3xy + y 3
4 4 3 2 2 3 4
5
2 10 + 1 = 4 + 1 = (4 + 1) ( ) (x + y) = x + 4x y + 6x y + 4xy + y
....
sayısı asal de˘ gildir. n
(x + y) açılımında her bir terimin üslerinin toplamı
p > 3 için,
n’dir. Bu açılımların katsayılarını; "Pascal üçgeni"ni
2
p = 12k + 1 kullanarak kolayca bulabiliriz.
formunda olur. Bu durumda;
2 12k+2 + 1 = 4 6k+1 + 1 = (4 + 1) ( )
olur. Dolayısıyla; p asal sayı ise
2
2 p +1 + 1
formunda asal sayı yoktur.
Bu üçgendeki her sayı; bir üstekinin ve onun solundaki
sayıların toplamıdır. Örne˘ gin;
6 = 3 + 3; 15 = 10 + 5:
5
p sayısı 2’nin bir kuvveti de˘ gilse; Böylece; (x + y) açılımını rahatlıkla yazabiliriz; kat-
sayılar üçgenin altıncı satırında verilmi¸slerdir:
p
2 + 1 5
5
3 2
4
4
2 3
(x + y) = x +5x y +10x y +10x y +5xy +y 5
sayısının asal olamayaca˘ gını gösteriniz.
p; 1’den büyük bir tek sayı ise;

1
p
2 + 1 = (2 + 1) 2 p 1 2 p 2 + 2 + 1
p
olaca˘ gından 2 + 1 sayısı asal olamaz. p çift sayı ise ve
2’nin bir kuvveti de˘ gilse; a tek sayı olmak üzere
p = a b
¸ seklinde yazılabilir.Bu durumda;
a
p
b
2 +1 = 2 + 1 A¸sa˘ gıdaki Pascal üçgeninin kalan kısmını

b a 1 a 2 b doldurunuz.
b
b
= 2 +1 2 2 + 2 +1
oldu˘ gundan yine asal de˘ gildir.