Page 171 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
170 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere; k = 1; 2; 3; :::; 10 için;
200 3 2
(ax + b) k + 3k + 3k + 2
2
3
3
ifadesinin açılımında; x 2 ve x terimlerinin k + 3k + 3k
katsayıları e¸sit ise; a + b kaçtır? (AIME 2000) sayılarının çarpımını bulunuz.
Binom açılımına göre,

3
2
3 2 k + 3k + 3k + 1 + 1
2000 b 1998 2 2000 b 1997 3 k + 3k + 3k + 2
a =
a
2 3 3 2 = 3 2 =
k + 3k + 3k (k + 3k + 3k + 1) 1
e¸sitli˘ gine göre; 3
(k + 1) + 1
a 666b
a = 0
b 1998 2 1997 3 3
(k + 1) 1
oldu˘ gundan, b = 666a olur. a ve b aralarında asal yazılabilir. k + 1 = n diyelim. Bu durumda,
oldu˘ gundan dolayı; a = 1 ve b = 666 olmalıdır. O 3 2
n + 1 (n + 1) n n + 1
halde; a + b = 667 elde edilir. =
2
3
n 1 (n 1) (n + n + 1)
n + 1
¸ seklinde olacaktır. n = 2; 3; :::; 11 için, de˘ geri,
n 1
3 4 5 6 11 12 11 12
= = 66
1 2 3 4 9 10 1 2
2
n n + 1
ve de˘ geri de,
2
(n + n + 1)
3 7 13 91 111 3
=
7 13 21 111 133 133
3
elde edilir. O halde istenilen çarpımın de˘ geri 66 =
133
198
Binom açılımından yararlanarak, olarak bulunur.
133
n (n + 1) (2n + 1)
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + + n =
6
oldu˘ gunu gösteriniz.

3 3 2
(a + 1) = a + 3a + 3a + 1 F Binom Açılımında Terim Sayısı F

özde¸sli˘ ginde a yenine 0’dan n’ye kadar de˘ gerler verilip n
taraf tarafa toplanırsa; (a + b) ifadesinin açılımında n + 1 terim vardır.
3 3 2
(0 + 1) = 0 + 3 0 + 3 0 + 1
3 3 2
(1 + 1) = 1 + 3 1 + 3 1 + 1
3 3 2
(2 + 1) = 2 + 3 2 + 3 2 + 1
.
.
.
3 3 2
+(n + 1) = n + 3 n + 3 n + 1
3 2 2 2
(n + 1) = 3 1 + 2 + + n +
3 (1 + 2 + 3 + + n) + (n + 1) n
(xy y x + 1) ifadesinin açılımında
e¸sitli˘ ginden 121 terim olması için n kaç olmalıdır?
n (n+1)
2 2 2 3
3 1 +2 + +n = (n+1) 3 (n+1)
2
1 n n n
= n (n + 1) (2n + 1) (xy y x + 1) = (x 1) (y 1)
2 n n
olur. Böylece oldu˘ gundan ve (x 1) ve (y 1) ifadelerinin
açılımında n + 1’er tane terim oldu˘ gundan, toplam
2
(n + 1) tane terim olacaktır. Buna göre,
n (n + 1) (2n + 1)
2
2
2
2
1 + 2 + 3 + + n = 2
6 (n + 1) = 121
oldu˘ gu görülür. ise n = 10 bulunur.