Page 172 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 171
n 3 2
(xy 3x + 7y 21) ifadesinin n + 5n +18n ifadesi bir tamküp olacak
açılımında benzer terimler toplandıktan sonra en az ¸ sekildeki n pozitif tamsayılarını bulunuz.
1996 terim olması için en küçük n pozitif tamsayısını
bulunuz. (AIME 1996)

Yanıt : 2 ve 4.

n
b
n
Yanıt : (xy 3x + 7y 21) = (x + 7) (y 3) ise,
2
(n + 1) > 1996 olmalı. n = 44 istenen ¸sekildeki en küçük
pozitif tamsayıdır.

F Binom Açılımının Özel Durumları F

Binom Açılımının Özel Durumları
n
n 2 Z için; (x + y) ifadesinin açılımında; Pascal üç-
genini kullanabiliriz.
n n n 1 n 2 2
n
n
n
(x + y) = x + x y + x y +
0 1 2
n 1 n 1 n
n
+ x y + y
n 1 n
3
2
n + 2n + 9n + 8 ifadesi bir tamküp e¸sitli˘ gi yazılabilir. ¸Simdi bu açılımda, y = 1 alınırsa,
n
n
n
n
olacak ¸sekilde, kaç n pozitif tamsayısı vardır. (x + 1) n = x + x n 1 + x n 2 +
1
2
0
(Harvard MIT Math. Tournament 2009) n 1
n
+ x +
n 1 n
elde edilir. Hem x = 1; hem de y = 1 alınırsa da,

n
n
3
2
3
3
3
2
n < n +2n +9n+8 < (n+2) = n +6n +12n+8 2 = n + n + n + + n 1 + n n
0
2
1
e¸sitli˘ gini buluruz. Bu sıkça kar¸sımıza çıkan ba˘ gın-
oldu˘ gundan, n
tılardan biridir ve (x + y) sayısının katsayılarının
3
2
3
n + 2n + 9n + 8 = (n + 1) toplamını verir.
2
olabilir. Buradan, n 6n 7 = (n + 1) (n 7) = 0
elde edilir. n pozitif oldu˘ gundan, n = 7 bulunur. Örne˘ gin;
˙ Istenen ¸sekilde sadece bir n pozitif tamsayısı vardır. 100 100 100 100 100
0 + 1 + 2 + + 100 = 2
yazılabilir. Son olarak, x = 1 ve y = 1 alınırsa; n’nin
tek veya çift olma durumuna göre,
n tek ise,
n
n
n
n
n
(1 1) = 0 = + + n ;
0 1 2 n 1 n
n çift ise,
n
n
n
n
n
(1 1) = 0 = + n + ;
2
3
n + 3n + 2n + 5 ifadesi bir tamküp 0 1 2 n 1 n
¸ seklinde yazılabilir.
olacak ¸sekildeki n pozitif tamsayısı kaçtır? n
(Ekstra Bilgi : (x + y) ifadesinin açılımını, daha önce
kısaca bahsetti˘ gimiz toplam sembolüyle;
n n P k n k
n
(x + y) = x y
k
k=0
¸ seklinde gösterebiliriz.)
Yanıt : 4