Page 173 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
172 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
20 + 20 + 20 + + 20 11

0 1 2 20 toplamının (33x 23y) ifadesinin açılımında tüm
son rakamı kaçtır? katsayıların toplamı kaçtır?

20 + 20 + 20 + + 20 = (1 + 1) 20 = 2 20

0 1 2 20
demektir.
2
2 1 2 (mod 10) ; 2 4 (mod 10) ;
4
2 2 8 (mod 10) ; 2 6 (mod 10) ; Yanıt : x = 1 ve y = 1 yazılırsa, katsayılar toplamı 10 11
2 5 2 (mod 10) ; bulunur.
oldu˘ gundan kalanlar 2, 4, 8, 6 ¸seklinde devam
edecektir. Üs 4’ün katıyken kalan 6 oldu˘ gundan yanıt
6’dır.

F Tek ve Çift Numaralı Katsayıların Toplamı F

n n
F (a + b) ve (a b) ifadelerinin açılımında tek nu-
maralı sırada bulunanların i¸sareti aynı, çift numaralı
sırada bulunanların i¸sareti farklıdır. Bu nedenle, bu iki
ifade toplanırsa, tek numaralı sırada bulunanların iki
katı kalacaktır.
10
10

10
10
T = + + + + Örne˘ gin,
0 1 2 10
6
3 3
4 2
5
sayısının kaç pozitif böleni vardır? (a + b) 6 = a +6a b + 15a b +20a b
2 4
5
+15a b +6ab + b 6
6 6 5 4 2 3 3
(a b) = a 6a b + 15a b 20a b
5
2 4
+15a b 6ab + b 6
için,
6
6
6
4 2
6
2 4
(a + b) + (a b) = 2(a + 15a b + 15a b + b )
Yanıt : T = 2 10 oldu˘ gundan (10 + 1) = 11 pozitif böleni
olur. Benzer ¸sekilde çıkarılırsa da, çift numaralı olan-
vardır.
ların iki katı kalır. Yukarıdaki örnek için,
6 6 5 3 3 5
(a + b) (a b) = 2 6a b + 20a b +6ab
olur.

F Katsayılar Toplamı F 100
8 sayısının 49’a bölümünden kalan
kaçtır?
Bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak
için, bilinmeyenlere 1 de˘ geri verilir. Örne˘ gin, 100 100 100 100 99
8 = (7 + 1) = 7 + 1 7 +
(5x 3y) 5 100 98 100 1
2 7 + + 99 7 + 1
ifadesinin açılımında tüm katsayıların toplamı, x = 1 ¸ seklinde yazabiliriz. Bu e¸sitli˘ ge göre, 49’a bölünmeyen
ve y = 1 yazarak bulunur. Buna göre, sadece iki terim vardır : son iki terim. O halde,
5 100
1
(5 1 3 1) = 32 8 100 7 + 1 (mod 49)
99
bulunur. bulunur. Böylece,
8 100 701 15 (mod 49)
bulunur.