Page 176 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 175
n
2 sayısı 3 32 1 sayısını bölecek ¸sekildeki
en büyük n pozitif tamsayısını bulunuz. 10
(x + y + z)
3 32 1 ifadesinde iki kare farkı için 3 6
ifadesinin açılımında x y z teriminin katsayısı
çarpanlara ayırma yöntemi art arda uygulanarak
kaçtır?
16 8 4 2
3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 (3+1) (3 1)
elde edilir. Bir önceki sorudaki (3 2 k + 1) sayısının 2’ye

bölünebildi˘ gini fakat 4’e bölünemedi˘ gini kullanırsak; 10 = 10! = 840
16 8 4 2 3; 6; 1 3!6!1!
3 + 1 ; 3 + 1 ; 3 + 1 ve 3 + 1
bulunur.
sayılarından 1’er tane 2, yani, 4 tane 2 ve geri kalan
çarpanlardan da 3 tane 2 çarpanı gelece˘ ginden; n sayısı
en fazla 4 + 3 = 7 olabilir.

n
5
2 sayısı, 3 1 sayısını böldü˘ güne göre,
n tamsayısı en az kaçtır?
(x + 2y + 3z) 10
7
2
ifadesinin açılımında x yz teriminin katsayısı
kaçtır?
Yanıt : 8. 7 1 2
(x) (2y) (3z) teriminin katsayısı,

10 10!
= = 360
7; 1; 2 7!1!2!
oldu˘ gundan,

F Multinom Açılımıyla Katsayı Hesabı F 7 1 2 7 2
360 (x) (2y) (3z) = (360 2 9) x yz
7
˙ Ikiden fazla terimin toplamının bir pozitif tamsayı = 6480 x yz 2
kuvvetini de Binom açılımına benzer ¸sekilde açabili- olur. Yani, x yz teriminin katsayısı 6480’dir.
2
7
riz. Bu açılımda katsayıları kolayca hesaplayabiliriz.
Örne˘ gin,
(x + y + z) 4
2
ifadesinin açılımında, x yz teriminin katsayısını bu-
lalım. Klasik olarak çarparak bu katsayının 12 oldu˘ gunu
2
bulabiliriz. Fakat, binom açılımında oldu˘ gu gibi, x yz
teriminde toplanan terimlerin kuvvetleri sırasıyla 2,1 ve
2
1’dir ve x yz’nin katsayısını
2 3 6
4! x + 2y + 3z
= 12
2!1!1! ifadesinin açılımında x y z teriminin katsayısı
3 2 6
¸ seklinde de bulabiliriz. n = a + b + c olmak üzere,
kaçtır?

n! n
=
a!b!c! a; b; c
¸ seklinde tanımlarsak, binom açılımına benzer ¸sekilde, 3 2 1 3 2
(x + y + z) n (x) 2y 3z
k l m
ifadesinin açılımında, x y z teriminin katsayısı, teriminin katsayısı,

n n! 6 6!
= = = 60
k; l; m k!l!m! 3; 1; 2 3!1!2!
3 2 6
ile bulunur. k + l + m = n oldu˘ gu unutulmamalıdır. olur. O halde, x y z teriminin katsayısı,
2
1
60 2 3 = 1080
bulunur.