Page 175 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
174 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

100 100 100 100 99 x; y ve z farklı tamsayılar oldu˘ guna göre,
1 + 3 + + 97 + 99 = 2
oldu˘ gunu gösteriniz. 5 5 5
A = (x y) + (y z) + (z x)
sayısının 5 (x y) (y z) (z x) çarpımına tam
bölündü˘ günü gösteriniz.

x y = r ve y z = s diyelim. Bu
durumda, z x = (r + s) ve
5
5
Yanıt : 2 100 100 + 100 + + 100 = A = (x y) + (y z) + (z x) 5
100
0
2
99
2 100 2 99 = 2 : = r + s (r + s) 5
5
5
5
= r + s 5
5 4 2 3 3 2 4 5
r + 5r s + 10r s + 10r s + 5rs + s
2 3
3 2
4
= 5r s 10r s 10r s 5rs 4
2 2
= 5rs (r + s) r + rs + s
= 5 (x y) (y z) (z x)
101 10 sayısının son be¸s rakamını bulunuz.
2
2
2
x + y + z xz yz xy

2
5
5
101 10 = 10 + 1 10 yazılabilir. Binom oldu˘ gundan, (x y) + (y z) + (z x) ifadesi
5
formülü de göz önüne alınırsa, son be¸s rakam;
5 (x y) (y z) (z x)
2
10 10 + 10 10 + 10
4
8 9 10 çarpımına tam bölünür.
de˘ gerinin son be¸s rakamıdır. Çünkü, di˘ ger terimlerin
sonunda 5’ten fazla sıfır vardır. Buna göre,
10 10 + 10 10 + 10 = 45 10 + 10 + 1

4
3
4
2
8 9 10
= 451001 1001 10 sayısının 100000’e bölümünden
oldu˘ gundan, son be¸s rakamı 51001 bulunur. kalan nedir? (Yani, son be¸s rakamını bulunuz.)
10

10
3 1
41 3 39 3 Yanıt : 10001. ( 10 + 9 10 de˘ gerini bulmak
K = sayısından küçük en yeterlidir.)
39 40 40 41
büyük tamsayı kaçtır?
a = 40 diyelim. Bu durumda, verilen
sayıyı
3 3 n pozitif tamsayısı için; 3 2 n + 1 sayısının
(a + 1) (a 1)
K = 2’ye bölünebildi˘ gini fakat 4’e bölünemedi˘ gini
(a 1) a a (a + 1)
ispatlayınız.
biçiminde yazabiliriz. ¸Simdi, bu ifadeyi sadele¸stirelim.
3 3 2 n
(a + 1) (a 1) 3 + 1 sayısı bir çift sayıdır. Dolayısıyla
K =
(a 1) a a (a + 1) 2’ye kesinlikle bölünür.
4
3
(a + 1) (a 1) 4 8a + 8a 4’e bölünemedi˘ gini gösterelim.
= = n 2 n 1 n 1 2 n 1
3
(a 1) a (a + 1) a a 3 2 = 3 2 = 9 2 = (8 + 1)
2 2
8a a + 1 8 a 1 + 2 16 ¸ seklinde yazıp; Binom açılımını uygularsak;
= = = 8 +
2
2
2
a (a 1) (a 1) a 1 2 n 1 2 n 1 n 1 2 n 1 1 2 n 1 1
2
(8+1) = 8 + 1 8 + + 2 n 1 1 8 +1
16
bulunur. 2 sayısı, a = 40 için, 0 ile 1 arasında olur. Bu e¸sitli˘ ge göre; 3 2 n +1 sayısı 8k +2 formunda
a 1 n
olaca˘ gından, verilen sayıdan küçük en büyük tamsayı olacaktır. Yani; 3 2 + 1 sayısının 4’e bölümünden
8’dir. kalan 2 olur ve 4’e tam bölünemez.