Page 174 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 173
3 100 sayısının 100’e tam bölünebilmesi için 8 100 + 10 100 sayısının 81’e bölümünden
en küçük hangi pozitif tamsayı çıkarılmalıdır? kalan kaçtır?

3 100 = 9 50 yazalım ve Binom açılımını
uygulayalım.
9 50 = (10 1) 50
50
50
= 10 50 10 49 + 10 1 49 + 1 50
1 49
| {z }
100n
Yanıt : 2.
= 100n + 1
oldu˘ gundan; 1 sayısı çıkarılırsa 100’e tam bölünür.
8 101 + 10 101 sayısının 81’e bölümünden
kalan kaçtır?

6 100 sayısının 49’a bölümünden kalan
kaçtır?

Yanıt : 36:

4 2002 + 6 2002 sayısının 25’e
bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır? (UAMO -
Yanıt : 6 100 = (7 1) 100 36 (mod 49) bulunabilir. 2002)

11 100 1 sayısının sonunda kaç tane sıfır
vardır? (UAMO - 1996)

Yanıt : 2:

Yanıt : 3. (11 100 = (10 + 1) 100 = 10 100 + +
1
100 10 1 99 + 1 100 ):

100 + 100 + + 100 + 100 =?

0 2 98 100
100 100
(1 + 1) ve (1 1) ifadelerinin
2008
2008
10 +12 sayısının 121’e bölümünden
açılımlarını kullanalım.
kalan kaçtır? 100
(1 + 1) = 2 100 = 100 + 100 + + 100 + 100
0 1 99 100
100 100 100 100 100 100
(1 1) = 0 = + +
0 1 99 100
n = 10 2008 + 12 2008 = (11 1) 2008 + (11 + 1) 2008 oldu˘ gundan, bu e¸sitlikleri taraf tarafa toplarsak;

2 100 = 2 100 + 2 100 + + 2 100 + 2 100
yazılıp sa˘ gdaki ifadeler açılırsa; son iki terimler 0 2 98 100
haricindeki; tüm terimler 121’in katı olaca˘ gından; olur. Böylece,
2 100 = 2 100 + 100 + + 100 + 100
n = (121a 11 2008 + 1) + (121b + 11 2008 + 1) 0 2 98 100
e¸sitli˘ ginden;
= 121 (a + b) + 2
100 100 100 100 99

yazılabilir. Buradan; 121’e bölümünden kalan 2 0 + 2 + + 98 + 100 = 2
bulunur. elde edilir.