Page 177 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
176 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
3 2 5 7 7
x + 3x + 2x ifadesinin açılımında x x + 2y + 3z ifadesinin açılımında
2
teriminin katsayısı kaçtır? 4 2 2
x y z teriminin katsayısı kaçtır?
3
2
x ; 3x ve 2x terimleri ile bu terimlerin
7
üsleri toplamı 5 olmak üzere, x yi iki ¸sekilde elde
edebiliriz :
1
0
3 2 2 3 3 2 0 4
x 3x (2x) veya x 3x (2x) :
Buna göre, bu terimlerin katsayılarını hesaplarsak
sırasıyla,

5 5! 5 5!
= = 10 ve = = 5
0; 2; 3 0!2!3! 1; 0; 4 0!1!4!
7! 4 2 1 2 4 2 2

oldu˘ gundan, Yanıt : (x) 2y (3z) = 1890x y z :
4!1!2!
3 0 2 2 3 7
10 x 3x (2x) = 720x
3
ve x + 3x + 2x 5 ifadesinin açılımında
2
3 1 2 0 4 7 6
5 x 3x (2x) : = 80x x teriminin katsayısı kaçtır?
7
bulunur. Sonuç olarak, x ’nin katsayısı 720+80 = 800
bulunur.
Not : Bu örnekte, hangi terimin üssünün kaç oldu˘ gunu
a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde hesaplayabiliriz. Üsler a + b + c = 5
olmak üzere, sırasıyla a; b; c olsun. Bu durumda,

3 a 2 b c 7

x 3x (2x) = x
e¸sitli˘ ginden 3a + 2b + c = 7 olmalıdır. a + b + c = 5’i
!
bu denklemden çıkarırsak, 5 5! 3 0 2 1 4 6

Yanıt : = x 3x (2x) = 240x :
2a + b = 2 0; 1; 4 4!
bulunur. Buna göre, a sayısı, 0 veya 1 olabilir.
a = 0 ) b = 2 ) c = 4 ve
a = 1 ) b = 0 ) c = 3
elde edilir.

p p
p 3
4
1 + 2 + 2 ifadesinin açılımında 2
teriminin katsayısını bulunuz.
7
(x + 2y + 3z) ifadesinin açılımında p
2 4 1
x y z teriminin katsayısı kaçtır? Açılımda 2 terimi üç ¸sekilde gelebilir :
3 p
p 0 p
(1) 0 2 4 2 = 2 2;
p 0 p
1 p
2 4
(1) 2 2 = 2;
0 p
p 2 p
1 4
(1) 2 2 = 2:
!
7 2 4 1
Yanıt : (x) (2y) (3z) =
2; 4; 1 Bunların katsayıları da sırasıyla,
3 3 3
7! 2 4 2 4 = 1; = 3 ve = 3
x (2y) (3z) = 5040x y z: 0;3;0 2;1;0 1;0;2
2!4!1! p p p p
oldu˘ gundan, 2 2 + 3 2 + 3 2 = 8 2 bulunur.