Page 178 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 177

3 3 3 3 3
p p 3 + 5 + 7 + + 1999
1 + 2 + 4 2
sayısı 999000 sayısına bölündü˘ günde kalan kaçtır?
ifadesinin açılımında rasyonel terimlerin toplamını (UAMO- 1999)
bulunuz.
Her bir terim
Açılımda rasyonel terim üç ¸sekilde 3 3 2
(2k + 1) = 8k + 12k + 6k + 1
gelebilir :
p 0 formundadır ve k = 1; 2; :::; 999 için istenen toplamı
0 p
3 4
(1) 2 2 = 1;
3
3
S = 8 1 +2 + +999 3
2 p
p 0
2
2
(1) 1 2 4 2 = 2; + 12 1 +3 + +999 2
1 p
p 2 + 6 (1 + 2 + + 999)
(1) 0 2 4 2 = 2:
+ (1 + 1 + + 1)
Bunların katsayıları da sırasıyla, ile ifade edebiliriz. Küpler toplamı, kareler toplamı

3 3 3
3;0;0 = 1; 1;2;0 = 3 ve 0;1;2 = 3 ve ardı¸sık sayıların toplamı için formüllerimizi
oldu˘ gundan, hesaplanırsa, kullanırsak,
2
1 + 3 2 + 3 2 = 13 999 1000
S = 8
bulunur. 2
999 1000 1999
+ 12
6
999 1000
+ 6 + 999
2
= 999000A + 999
oldu˘ gundan, kalan 999 olarak bulunur.
p
p 4
1 + 3 + 4 3 ifadesinin açılımında
rasyonel terimlerin toplamını bulunuz.

p
2
2 + p sayısı asal olacak ¸sekilde kaç tane
Yanıt : 67. p asal sayısı vardır?
p p 4 p = 2 ise;
4
1 + 3 + 3 ifadesinin açılımında
p p 2
3 teriminin katsayısı kaçtır? 2 + p = 8
olur ve asal de˘ gildir.
p = 3 ise;
2
3
2 + 3 = 17
asaldır.
p > 3 için p = 6n 1 ¸seklinde yazabiliriz. Binom
açılımı göz önüne alınırsa, p > 3 için;
2
p
2 + p = (3 1) 6n 1 + (6n 1) 2
sayısı daima 3’e bölünece˘ ginden; istenen ¸sekildeki tek
Yanıt : 40.
sayı p = 3 olur.