Page 179 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
178 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Özde¸slikler x; y; z 2 R için, x 4x = y; y 2y = z
2
2
2
ve z 6z = x ise, x + y + z ifadesinin alabilece˘ gi
Çarparak elde edebilece˘ gimiz a¸sa˘ gıdaki özde¸slikler,
en küçük de˘ ger kaçtır?
sıklıkla kar¸sımıza çıkar. Bu nedenle bunları bilmek
birçok soruda i¸simizi kolayla¸stıracaktır.
2 2
F Toplamların Kareleriyle Ilgili Özde¸slikler F x 4x = y ise, x 4x + 4 = y + 4 ise
˙
2
(x 2) = y + 4;
2
2
2
2
(x + y) = x + 2xy + y 2 y 2y = z ise, y 2y + 1 = z + 1 ise
2
2
(x y) = x 2xy + y 2 (y 1) = z + 1;
2
2
2
2
2
(x + y + z) = x + y + z + 2 (xy + yz + xz) 2 2
2
2
2
2
(x y + z) = x + y + z + 2 ( xy yz + xz) z 6z = x ise, z 6z + 9 = z + 9 ise
2 2 2 2 2
(x 1 + x 2 + + x n) = x 1 + x 2 + + x n (z 3) = z + 9
+2 (x 1x 2 + x 1x 3 + + x n 1x n)
oldu˘ gundan, bu e¸sitlikler taraf tarafa toplanırsa,
2 2 2
(x 2) + (y 1) + (z 3) = x + y + z + 14 0
bulunur. O halde,
x + y + z 14
elde edilir. Yani, en küçük 14 olabilir.
2
2
x 2x +y 6y +13 ifadesinin minimum
de˘ gerini bulunuz.
2
2
x 2x + y 6y + 13 ifadesini,
2 2
x 2x + 1 + y 6y + 9 + 3 = x, y, z gerçel sayıları
2 2
2
2
2
(x 1) + (y 3) + 3 x 2jxj = y, y 2jyj = z ve z 2jzj = x
¸ seklinde yazabiliriz. Tamkare olan ifadeler en küçük
e¸sitliklerini sa˘ glıyorsa, x + y + z’nin alabilece˘ gi en
0 olabilir. Buna göre, x = 1 ve y = 3 için verilen
küçük de˘ ger nedir? (U ˙ IMO - 2008)
ifadenin en küçük de˘ geri 3 bulunur.
Verilen e¸sitlikleri
2
(jxj 1) = y + 1;
2
2
2
x 4y 2z 4x + 4y + z + 11 (jyj 1) 2 = z + 1;
ifadesinin minimum de˘ gerini bulunuz. (jzj 1) 2 = x + 1
¸ seklinde yazabiliriz. Bunları toplarsak,
2 2 2
(jxj 1) +(jyj 1) +(jzj 1) = x+y+z+3 0
bulunur. O halde,
x + y + z 3
2 2 2 elde edilir. Yani, x + y + z ifadesinin en küçük de˘ geri
Yanıt : 5, ((x 2) + (2y 1) + (z 1) + 5 ¸seklinde
3 olur.
yazınız.)
2
2
2
3x 2xy 2xz 4x + y + z + 5
ifadesinin minimum de˘ gerini bulunuz.
2
2
2
x + y + z = 11 ve x + y + z = 5 ise
xy + yz + xz =?
Yukarıda verilen,
2 2 2 2
(x + y + z) = x + y + z + 2 (xy + yz + xz)
özde¸sli˘ ginde verilenler yazılırsa,
2 2 2
Yanıt : 1, ((x y) + (z x) + (x 2) + 1 ¸seklinde
25 = 11 + 2 (xy + yz + xz)
yazınız.)
e¸sitli˘ ginden, xy + yz + xz = 7 bulunur.