Page 180 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 179
2
2
2
x + y + z = 13, xy + yz + xz = 6 ve F Kareler Toplamı Sıfırsa Sayılar Sıfırdır F
x y z = 3 ise x =?
˙ Iki sayının karelerinin toplamı 0 ise bu sayılar 0’dır.
Yukarıda verilen,
2
2
2
2
(x + y + z) = x + y + z + 2 (xy + yz + xz)
2
özde¸sli˘ ginden, (x + y + z) = 13 + 12 = 25 olur.
Yani, x + y + z = 5’tir. Bu e¸sitlik ile, x y z = 3
e¸sitli˘ gi taraf tarafa toplanırsa, 2x = 8 ve x = 4 bulunur.
2
2
K = x 4xy 4y + 5y + 4 = 0 ise x =?
Verilen ifadeyi,
2 2 2
K = x 4xy + 4y + y 4y + 4
2
2
2
x + y + z = 18, xy + yz + xz = 9 2 2
= (x 2y) + (y 2)
ve x + y z = 4 ise z =?
= 0
¸ seklinde yazabiliriz. Buna göre, y = 2 ve x = 2y
oldu˘ gundan, x = 4 bulunur.

Yanıt : 1.

2
2
2
2xy 2z 2y+2xz+2yz+x +2y +2z +2 = 0
x; y ve z pozitif gerçel (reel) sayılar olmak ise x =?
2
2
üzere, x + xy + xz = 12; y + xy + yz = 15 ve
2
z + zy + xz = 9 ise, x + y + z toplamı kaçtır? Verilen ifadeyi,
2 2
y 2y + 1 + z 2z + 1 +
Denklemleri toplarsak, 2 2 2
x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz = 0
2
2
2
x + y + z + 2 (xy + xz + yz) = 36 ¸ seklinde gruplayalım. Son e¸sitli˘ gi,
2 2 2 2
e¸sitli˘ ginden (x + y + z) = 6 ve buradan x+y+z = 6 (y 1) + (z 1) + (x + y + z) = 0
olur.
¸ seklinde yazabiliriz. Buna göre, y 1 = 0; z 1 = 0
ve x + y + z = 0 olması gerekir. Buradan, x = 2
elde edilir.
a; b ve c negatif sayılar olmak üzere,
2
a + b + 2ac = 3;
2
b + c + 2ab = 5;
2
c + a + 2bc = 4
2
2
x 4y 6x+4y +10 = 0 ise x+y =?
ise, a + b + c toplamı kaçtır?
Üç denklem taraf tarafa toplanırsa,
2 2 2
(a + b + c) + a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc = 12
2
(a + b + c) + (a + b + c) 12 = 0
(a + b + c 3) (a + b + c + 4) = 0 2 2
Yanıt : 7=2: ((x 3) +(2y 1) = 0 ¸seklinde yazınız.)
oldu˘ gundan, a + b + c = 4 bulunur.