Page 185 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
184 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir

F Ardı¸sık n sayının çarpımı n! ile bölünür.F

3
n + 5n
Ardı¸sık n tane tamsayının çarpımı 1’den n’ye kadar
(n dahil) tüm sayılar ile tam bölünür. Hatta; n! ile sayısının her n pozitif tamsayısı için 6’ya
bölünür. bölünebildi˘ gini ispatlayınız.
+
Kanıt : k 2 Z için;
(k + 1) (k + 2) (k + n)
n! 3 3
n + 5n = n + 6n n = 6n + (n 1) n (n + 1)
ifadesinin tamsayı oldu˘ gunu göstermek yeterlidir.
e¸sitli˘ gine göre;
(k+1) (k+2) (k+n) (k+n)! k + n +
= = 2 Z : (n 1) n (n + 1)
n! k!n! n
sayısı 3 tane ardı¸sık sayının çarpımıdır ve bu çarpım
n
ifadesi n nesneden r nesnenin farklı seçili¸s hem 2 hem de 3’e bölünür. O halde; n + 5n sayısı
3
r
sayısıdır ve daima tamsayıdır. 6’ya tam bölünür.

n pozitif tamsayı olmak üzere,
2
3
4
n 2n n + 2n
ifadesinin daima 24’e bölünebildi˘ gini gösteriniz.
Çarpanlarına ayıralım.
4 3 2 3
n 2n n 2n = n (n 2) n (n 2)
2
= n (n 2) n 1
= (n 2) (n 1) n (n + 1) a; b; c 2 Z için;
oldu˘ gundan, verilen ifade 4 ardı¸sık sayının çarpımı a + b + c
oldu˘ gundan 4! = 24’e daima bölünür. sayısı 6’ya tam bölünüyorsa;
3
3
a + b + c 3
sayısı da 6’ya tam bölünür. Kanıtlayınız.

3 3 3 3 3 3
a +b +c (a+b+c) = a a + b +b + c +c
n pozitif tamsayı olmak üzere; e¸sitli˘ gine göre; her bir terim
3
5
3
n 5n + 4n sayısının daima 120 ile bölünece˘ gini n n = (n 1) n (n + 1)
gösteriniz. biçiminde, yani üç ardı¸sık üç sayının çarpımı olarak
yazılaca˘ gından; hem 2 hem de 3 ile dolayısıyla 6’ya
tam bölünür.
3 3 3
6 j a + b + c (a + b + c) ;
6 j (a + b + c)
ise;
5
3
Yanıt : n 5n +4n = (n 2) (n 1) n (n + 1) (n + 2) 3 3 3
6 j a + b + c
oldu˘ gundan 5! ile bölünür.
olmalıdır.