Page 188 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 187
0 < x < y < 101 olmak üzere, (x; y) sıralı Reel sayılardan olu¸san sonlu bir S
ikililerinden kaç tanesinde x ve y’nin aritmetik kümesi için, S [ f11g kümesinin aritmetik ortalaması,
ortalaması, x ve y’nin geometrik ortalamasından 2
S kümesinin aritmetik ortalamasından 1 daha azdır.
fazladır?
S [ f111g kümesinin aritmetik ortalaması ise, S
x + y p kümesinin aritmetik ortalamasından 9 daha fazladır.
= xy + 2 e¸sitli˘ gi düzenlenirse,
2 Buna göre, S kümesinin aritmetik ortalamasını
p
x 2 xy + y = 4 bulunuz.
p p 2
( x y) = 4
p p
olur. Bu e¸sitli˘ ge göre, y > x ve y; x > 0
oldu˘ gundan
p p
y x = 2
p p
elde edilir. Buna göre, bu e¸sitli˘ gi sa˘ glayan ( x; y)
sayısını hesaplayalım.
p p
0 < x < y < 101 ve y x = 2
p
oldu˘ gundan, y en fazla 10 ve en az 3 olabilir. Yani, 8
tane y de˘ geri ve her bir y de˘ gerine kar¸sılık gelen sadece
1 x de˘ geri olaca˘ gından, toplam 8 tane (x; y) ikilisi
vardır. Yanıt : 21.

13 ve 1453’ün elemanı olmadı˘ gı bir A
sayı kümesi veriliyor. A kümesinin elemanlarının
aritmetik ortalaması x olmak üzere, 13 ile A
kümesinin elemanlarının aritmetik ortalaması
x 13, 1453 ile A kümesinin aritmetik ortalaması
ise x + 19 oldu˘ guna göre, A kümesinin eleman
sayısını ve aritmetik ortalamasını bulunuz.

S’nin eleman sayısı n olsun. Aritmetik
ortalaması x oldu˘ gundan, Oran - Orantı
S’nin elemanları toplamı
= x;
n
yani, S’nin elemanları toplamı, nx’dir. Verilenlerden, F Oran - Orantı F
nx + 13 nx + 1453
= x 13 ve = x + 19 Aynı birimli ifadelerin a ve b de˘ gerlerinden en az biri
n + 1 n + 1 sıfırdan farklı olmak üzere
˙
olur. Ikinci e¸sitlikten birinci e¸sitlik taraf tarafa a
çıkartılırsa, b
˙
1440 de˘ gerine, a’nın b’ye oranı denir. Iki veya daha fazla
= 32
n + 1 oranın e¸sli˘ gine orantı denir.
a c
e¸sitli˘ ginden, n = 44 bulunur. Bu de˘ geri yukarıdaki = = k (k 6= 0)
b d
denklemlerden birinde yazarsak,
orantısı verilsin. k’ya orantı sabiti denir. Ayrıca,
44x + 13
= x 13 an + cm
44 + 1 = k
bn + dm
ve buradan da, x = 598 elde edilir.
e¸sitli˘ gi de sa˘ glanır.