Page 186 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 185
Karı¸sık Sorular
1 2 3 10
+ + + +
1 + 4 2 + 4 3 + 4 10 + 4
4
4
4
4
1 2 3 toplamını hesaplayınız.
2
4
4
2
4
2
1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 3 + 1 n
4 10 Toplamdaki her bir terim 4
+ + + n + 4
4
2
2
4
4 + 4 + 1 10 + 10 + 1 formundadır.
toplamını hesaplayınız. n + 4 = n + 4n + 4 4n 2
4
4
2
2 2
2
4
2
Her bir terim n= n + n + 1 = n + 2 (2n)
2 2
formundadır. Paydayı çarpanlara ayıralım. = n + 2n + 2 n 2n + 2

2
4
4
2
n + n + 1 = n + 2n + 1 n 2 biçiminde çarpanlara ayrılabilece˘ ginden,
2 2 2 n n
= n + 1 n =
2
4
2
n + 4 (n + 2n + 2) (n 2n + 2)
2 2
= n n + 1 n + n + 1 1 1 1
=
biçiminde çarpanlara ayrılabilir. Di˘ ger taraftan, 4 (n 2n + 2) (n + 2n + 2)
2
2
n = n !
2
2
4
2
n + n + 1 (n n + 1) (n + n + 1) = 1 1 1
2
2
4 (n 1) + 1 (n + 1) + 1
1 1 1
=
2
2
2 n n + 1 n + n + 1 elde edilir. Buna göre, n = 1; 2; :::; 10 için,

biçiminde yazılabilir. Son ifade de n = 1; 2; :::; 10 1 1 1 1 1 1 1
S = + + +
yazarsak, 4 1 5 2 10 5 17

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 + +
S = + + + 65 101 82 122
2 1 3 3 7 7 13
= 1 1 + 1 1 1
1 1 1 1
+ + 4 1 2 101 122
73 91 91 111
bulunur.

1 1 55
= 1 =
2 111 111
elde edilir. 19 88 1 sayısının; a; b > 0 olmak üzere;
a
b
2 3 formundaki tüm bölenlerinin toplamı kaçtır?
(Avusturya-Polonya M.O. 1989)
a
b
2 3 j 19 88 1 ¸seklindeki en büyük
a; b > 0 sayılarını bulmaya çalı¸salım. Öncelikle;
n pozitif bir tamsayı olmak üzere
22
11
11
44
2 5n+1 + 5 n+k sayısı 27’ye tam bölündü˘ güne göre k 19 88 1 = 19 1 19 +1 19 +1 19 +1
en küçük kaçtır? olarak çarpanlara ayrılabilir. Burada;
11 22 44
19 + 1 ; 19 + 1 ; 19 + 1
sayıları 3’e bölünemeyece˘ ginden; 19 88 1 sayısının 3 b
n
2 5n+1 + 5 n+k = 2 32 + 5 n+k formundaki en büyük böleni için; 19 11 1 sayısına
3
bakalım. 3 - 19 11 1’dir. Fakat; b = 2 için
yazılabilir. 32 5 = 27 oldu˘ gunu göz önüne alarak, bu
2
3 j 19 11 1 olur. Yani; en büyük b sayısı 2’dir.
ifadeyi uygun çarpanlara ayırmaya çalı¸salım. Bunun 11
için, Di˘ ger taraftan; 19 + 1 sayısı 4’e bölünür ve
8’e bölünmez; di˘ ger çarpanlar da sadece 2’ye bölünür.
n
n
n
n+k
n
n+k
2 32 + 5 = 2 (32 5 ) + 2 5 + 5
Buna göre; en büyük a sayısı da 5 seçilebilir. Böylece;
n 1 n 2 n 1
88
a
b
= 2 (32 5) 32 +5 32 + +5 19 1 sayısını bölen 2 3 formundaki en büyük sayı
2
5
n
+ 2 5 + 5 n+k 2 3 olur ve bu sayının pozitif bölenlerinin toplamı da;
= 27 A + 5 n 2 + 5 k (3 + 9) (2 + 4 + 8 + 16 + 32) = 744
olur. Buna göre, 5 n 2 + 5 k sayısı 27’nin bir katı olarak bulunur.
olmalıdır. Bu ise k = 2 için sa˘ glanır.