Page 187 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
186 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Aritmetik ve Geometrik Ortalama Bir ö˘ grenci 4 sınava girmi¸stir. Ilk iki
˙
sınavın ortalaması 65 ve son sınav notu 80’dir. Bu
ö˘ grencinin 4 sınavının ortalaması 75 oldu˘ guna göre,
F Ortalamalar F
üçüncü sınavdan kaç almı¸stır?
a 1 ; a 2 ; :::; a n pozitif sayıları verilsin.
a 1 + a 2 + + a n
n
de˘ gerine a 1 ; a 2 ; :::; a n sayılarının aritmetik ortala-
ması,
p
n
a 1 a 2 a n Yanıt : 90.
de˘ gerine de a 1 ; a 2 ; :::; a n sayılarının geometrik ortala-
ması denir. Bir grup ö˘ grencinin not ortalaması 60’dır.
Bu gruba 1 ki¸si katılırsa ortalama 70, gruptan 1 ki¸si
ayrılırsa ortalama 50 oluyor. Katılan ve ayrılan iki
ö˘ grencinin not ortalaması 90 ise ilk durumda bu grupta
kaç ö˘ grenci vardır?

Yanıt : 3.

12 kız ve 15 erkek ö˘ grencinin katıldı˘ gı bir
sınavda kız ö˘ grencilerin not ortalaması 54, erkek
ö˘ grencilerin not ortalaması da 45 oldu˘ guna göre,
tüm ö˘ grencilerin not ortalaması kaçtır?

Kız ö˘ grencilerin not toplamı : 12 54 = 648
ve erkek ö˘ grencilerin not toplamı da 15 45 = 675’dir.
Buna göre, tüm ö˘ grencilerin ortalaması
˙ Içinde 68 sayısı da olan pozitif
648 + 675
= 49 tamsayılardan olu¸san bir sayı kümesindeki
12 + 15
sayıların aritmetik ortalaması 56’dır. Bu diziden
olarak bulunur.
68 sayısı silinirse geriye kalan sayıların aritmetik
ortalaması 55 olmaktadır. Bu sayı kümesindeki en
büyük eleman en çok kaç olabilir? (AIME 1984)

S, 68 haricindeki sayıların toplamını
göstersin. Sayıların sayısı da n + 1 olsun. Buna göre,
68 + S S
= 56 ve = 55
25 tane sayının ortalaması 7’dir. Bu n + 1 n
olur.
sayılara toplamı 105 olan 3 sayı daha eklenince yeni
ortalama kaç olur? 68 + S = 56 (n + 1)
e¸sitli˘ ginde, S = 55n yazılırsa,
68 + 55n = 56 (n + 1)
olur. Buradan, n = 12 olaca˘ gından,
S = 55 12 = 660
elde edilir. Böylece, 11 eleman 1 seçilirse, en büyük
Yanıt : 10.
eleman 660 11 = 649 olur.