Page 195 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
194 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Bir kentten di˘ gerine giden bir otobüs, Aynı uzunlukta ve sabit hızlarla yanan iki
˙
yolun ilk yarısını 40 km/saat, ikinci yarısını ise 60 mumdan biri 4 saatte, di˘ geri de 5 saatte bitiyor. Iki
km/saat hızla gittiyse, otobüsün ortalama hızı kaç mum da aynı anda yakılırsa, yakıldıkları andan kaç
km/saat olmu¸stur? (U ˙ IMO - 2005) saat sonra, yava¸s yanan mumun kalan bölümü hızlı
yanan mumun kalan kısmının iki katı uzunlukta
olur? (U ˙ IMO - 2007)

Mumun uzunlu˘ gu x olsun.
x
Yanıt : 48: Yava¸s yanan mumun hızı, ve
5
x
hızlı yanan mumun hızı da ’tür.
4
A ¸sehri, B ¸sehrinin 60 km batısındadır. Mumlar, aynı anda yakıldıktan t saat sonra, yava¸s
A’dan bir araba ve B’den ikinci bir araba aynı anda yanan mumun kalan bölümü,
do˘ guya do˘ gru yola çıkıyorlar. Bir süre sonra birinci x
x t
araba ikinciye yeti¸siyor. Birinci arabanın hızı 10 5
km/saat, ikinci arabanın hızı 8 km/saat daha fazla ve hızlı yanan mumun kalan bölümü
olsaydı, birinci araba, ikinci arabayı aynı yerde x
fakat 1 saat daha erken yakalayacaktı. Birinci x t 4
arabanın hızı kaç km/saat’tir? (U ˙ IMO - 2008) olur. Buna göre,
x x
Arabaların hızları V 1 ve V 2 olsun ve t saat x t 5 = 2 x t 4
sonra B’den x km uzaklıkta, hızlı olan araba di˘ ger denkleminden,
arabayı yakalasın. Buna göre, t t 10
1 = 2 ve t =
(x + 60) = V 1 t (1) ve x = V 2 t (2) 5 2 3
olur.
denklemlerinin oranından,
x + 60 V 1
= (3)
x V 2
olur. Birinci arabanın hızı 10 km/saat, ikinci arabanın
hızı 8 km/saat fazla olması durumunda, birinci araba
ikinci arabayı aynı yerde 1 saat daha önce yakalayaca˘ gı
verilmi¸s. Buna göre,
x + 60 = (V 1 + 10) (t 1) ve 100 basamaklı bir yürüyen merdiven
x = (V 2 + 8) (t 1) = x yukarı do˘ gru sabit hızla hareket ederken, Alper ile
olur. Her iki denklemi de açarsak, Burcu merdivenlerden yürüyerek çıkıyor. Alper,
x = V 1 t V 1 + 10t 70 ve x = V 2 t V 2 + 8t 8 merdivenin tepesine kadar 40 basamak, Burcu ise
60 basamak çıkıyor. Buna göre Burcu’nun hızının
bulunur. ¸Simdi, (1) ve (2)’de buldu˘ gumuz de˘ gerleri
Alper’in hızına oranı kaçtır?
yazalım.
x = x + 60 V 1 + 10t 70 ve x = x V 2 + 8t 8 Merdivenin hızı V m olsun. Alper 40
e¸sitliklerinden de, basamak çıkarken, merdiven 60 basamak ilerlemi¸stir.
V 1 = 10 (t 1) ve V 2 = 8 (t 1) Buna göre, Alper’in hızı V A ise hızları oranı
V A 40 2
elde edilir. Bu iki ifadenin oranından = =
V 1 5 V m 60 3
= olur. Di˘ ger taraftan, Burcu, 60 basamak çıkarken,
V 2 4
olur. Buna göre, (3) e¸sitli˘ ginin kullanılmasıyla elde merdiven 40 basamak çıkmı¸stır. Burcu’nun hızına V B
dersek,
edilen
x + 60 5 V B = 60 = 3
= 40 2
x 4 V m
denkleminden x = 240 bulunur. Böylece, x = 240 olur. Böylece, bu iki e¸sitli˘ gin birbirine bölümünden,
ve V 1 = 10 (t 1) ifadelerini (1) denkleminde V B = 9
yerine yazarsak, 300 = 10 (t 1) t olur. Buradan, V A 4
t (t 1) = 30 ve t = 6 ve dolayısıyla V 1 = 50 bulunur. bulunur.