Page 206 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 205
Dijital olmayan bir saat her 1 saatte 30 sorudan olu¸san bir test sınavında, her
do˘ gru yanıt için 5 puan, bo¸s bırakılan her soru için
30 saniye geri kalıyor. Bu saat do˘ gru bir zamana
ayarlandıktan kaç gün sonra 5’inci kez do˘ gru zamanı 1 puan ve yanlı¸s bırakılan her soru için ise 0 puan
verilmektedir. Bu puanlama sistemiyle 1’den (1
gösterir?
dahil) 150’ye kadar (150 dahil) alınabilecek tüm
puanların alınabilmesi için sınıfta en az kaç ki¸si
olmalıdır?

Alınacak puan, x do˘ gru sayısını ve y
bo¸s cevap sayısını göstermek üzere,P = 5x + y
¸ seklinde yazılabilmelidir. ¸Simdi hangi puanların
alınamayaca˘ gını bulalım. 5 29 = 145 oldu˘ gundan ve
geriye sadece 1 soru kaldı˘ gından,
147; 148; 149
puanları alınamaz. Benzer ¸sekilde, 5 28 = 140
oldu˘ gundan ve geriye sadece 2 soru kaldı˘ gından, 143
Yanıt : 240. ve 144 puanları da alınamaz. Son olarak, 5 27 = 135
oldu˘ gundan ve geriye sadece 3 soru kaldı˘ gından,139
puanı da alınamaz. Bundan sonra istenen do˘ gru ve bo¸s
Saat 16.10’dan kaç dakika sonra akreple yanıtlar kullanılarak, tüm puanlar elde edilebilir. O
yelkovan arasındaki açı ikinci kez 45 derece olur? halde sınıfta en az 150 6 = 144 ki¸si olmalıdır.

21 sorudan olu¸san bir sınavda her do˘ gru
yanıta 4, her yanlı¸s cevaba 1 ve yanıtsız bırakılan
her soruya da 0 puan verilmektedir. Sınava giren
tüm ö˘ grencilerin toplam puanları birbirlerinden
farklı ise, sınava en çok kaç ö˘ grenci girmi¸s olabilir?
(U ˙ IMO - 1998)

x do˘ gru ve y yanlı¸s yapan bir ö˘ grenci,
4x y puan alacaktır.
0 x; y 21 ve x + y 21
olmak üzere, 4x y sayısının alabilece˘ gi de˘ gerler
Yanıt : 20. sayısı, sınava giren en çok ö˘ grenci sayısını verecektir.
Bir ö˘ grencinin alabilece˘ gi maksimum puan 84 ve
minimum puan da 21’dir. Bu iki sayı arasında 106
sayı vardır.
Fakat, do˘ gru sayısı 4 ile çarpıldı˘ gından 21; 20 ve 19
do˘ gru yapılması durumlarında yanlı¸s sayıları sadece
sırasıyla 0, 1 ve 2 olabilece˘ ginden bazı de˘ gerleri
almak mümkün olmayacaktır. 21 do˘ gru var ise, yanlı¸s
olamayaca˘ gından, 83; 82 ve 81 puanlarını almak
Sınav Problemleri
mümkün de˘ gildir. E˘ ger, 20 do˘ gru var ise de yanlı¸s
sayısı en fazla 1 olabilir. Bu durumda da,
20 soruluk bir sınavda her do˘ gru yanıt için 20 4 2 = 78 ve 20 4 3 = 77
5 puan, her yanlı¸s puan için 1 puan verilmektedir. de˘ gerlerini almak mümkün de˘ gildir. E˘ ger, 19 do˘ gru
Tu˘ gberk, 15 soru yapıp ve 45 puan aldı˘ gına göre, var ise, yanlı¸s sayısı en fazla 2 olabilece˘ ginden,
kaç do˘ gru yapmı¸stır? 19 4 3 = 73 puanını almak da mümkün de˘ gildir.
Yani,
Tu˘ gberk’in x do˘ gru ve y yanlı¸sı olsun. 83; 82; 81; 78; 77 ve 73
Buna göre,
puanlarını alan ö˘ grenci olamaz. Bundan sonraki tüm
x + y = 15 ve 5x y = 45 de˘ gerler alınabilece˘ ginden, en fazla 106 6 =100
e¸sitlikleri sa˘ glanmalıdır. Bu e¸sitlikler taraf tarafa ö˘ grenci sınava girmi¸stir.
toplanırsa, 6x = 60 ve x = 10 bulunur.