Page 210 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 209
Be¸s futbol takımının katıldı˘ gı turnuvada
herhangi iki takım kendi aralarında tam olarak bir
maç yapıyor. Her maçta kazanan takım 3, berabere
kalan takımlar birer, kaybeden takım ise 0 puan
alıyor. Turnuva sonunda dört takımın puanları 1, 2,
5 ve 8 olduysa, be¸sinci takımın puanı kaçtır? (U ˙ IMO
- 2009)

Galibiyet Beraberlik Mağlubiyet PUAN
A 0 1 3 1
B 0 2 2 2
C 1 2 1 5
D 2 2 0 8
E 3 1 0 10

Turnuva sonunda puanları 1, 2, 5 ve 8 olan dört takıma
sırasıyla, A, B, C ve D diyelim. A takımı sadece 1
n takımın katıldı˘ gı bir hentbol
beraberlik alıp di˘ ger üç maçını kaybetmi¸stir. B takımı,
turnuvasında, her takım, kendi dı¸sındaki her
2 puan alduı˘ gına göre 2 maçta berabere kalıp, iki
takımla tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta
maçta yenilmi¸stir. C takımı, 1 galibiyet, 2 beraberlik
kazanan 2, kaybeden 0 puan alırken, beraberlik
ve 1 ma˘ glubiyet almı¸stır. D takımı ise, 2 galibiyet
durumunda iki takım da 1’er puan kazanıyor.
ve 2 beraberlik almı¸stır. ¸Simdi, ma˘ glubiyet sayısı ile
Turnuvanın bitiminde tüm takımların puanları
galibiyet sayısının birbirine e¸sit olması gerekti˘ gini
farklı olup, sonuncu olan takım ilk üç sırada yer
kullanaca˘ gız. Eldeki verilere göre, 6 ma˘ glubiyet ve
alan takımların hepsini yenmi¸s ise, n en az kaç
3 galibiyet var. O halde, be¸sinci takımın kesinlikle
olabilir? (UMO - 2006)
3 galibiyeti ve 1 beraberli˘ gi olmalıdır. Bu durumda,
puanı 10 olur.
En küçük n sayısı için, sonuncunun puanı
en az 6 olacaktır. Tüm takımların puanı farklı ve n
takım oldu˘ gundan, takımlar,
6; 7; 8; 9; :::; n + 5
¸ seklinde olacaktır. Her takım, n 1 maç yapaca˘ gından,
n takım,
12 ki¸sinin katıldı˘ gı bir satranç
n n (n 1)
turnuvasında, her oyuncu, kendi dı¸sındaki her 2 = 2
oyuncuyla tam olarak bir kez kar¸sıla¸sıyor. Her
kar¸sıla¸smada kazanan 1, kaybeden 0 puan alırken, maç yapacaktır. Her maç sonucunda 2 puan
beraberlik durumunda iki oyuncu da 0,5’er puan da˘ gıtılmaktadır. Böylece, tüm maçlar sonucunda
kazanıyor. Turnuvanın bitiminde en az toplam 8 puan da˘ gıtılan puan
alan oyunculara ba¸sarı ödülü veriliyor. En çok kaç n (n 1)
oyuncu ba¸sarı ödülü alabilir? (U ˙ IMO - 2006) 2 2 = n (n 1)
olur. Buna göre, sırasıyla,
6 + 7 + + (n + 5) = n (n 1) ;
(n + 5) (n + 6) 5 6
= n (n 1) ;
2 2
2
n 13n = 0
elde edilir. Son e¸sitlikten de,
n = 13
bulunur.

Yanıt : 7.