Page 209 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
208 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
A˘ gırlıkları aynı olması gerekmeyen n 30 ki¸silik bir satranç turnuvasında,
tane ta¸s, 3 ki¸si arasında da, 4 ki¸si arasında da, herkese ¸ sampiyon, "3 kez yenilen elenir" kuralıyla
dü¸sen ta¸sların toplam a˘ gırlı˘ gı aynı olacak ¸sekilde belirlenecektir. Buna göre en az kaç maç yapılmalıdır?
payla¸stırılabiliyor. n en az kaç olabilir? (U ˙ IMO - 2004) (UAMO - 2005)

Yanıt : 6. (f3g ; f3g ; f3g ; f1; 1; 1g) Yanıt : 87.

Bir satranç turnuvasına katılan her
Oyun ve Turnuva Problemleri
oyuncu, di˘ ger oyunculardan her biriyle tam olarak
bir kez kar¸sıla¸sıyor. Her oyunda, yenen oyuncu
1, yenilen ise 0 puan kazanırken, beraberlik
F Oyun ve Turnuva Problemleri F durumunda her oyuncu 1/2 puan kazanıyor.

Turnuvanın bitiminde, oyunculardan her birinin,
n takımın oldu˘ gu bir turnuvada,
elde etti˘ gi toplam puanın tam olarak yarısını,

n n (n 1) en dü¸sük toplam puanlı üç oyuncuyla yaptı˘ gı
=
2 2 kar¸sıla¸smalardan elde etmi¸s oldu˘ gu gözleniyor. Bu

n turnuvaya kaç oyuncu katılmı¸stır? (U ˙ IMO - 2002)
sayıda maç yapılır. sayısı, n takım arasından
2
seçilebilecek iki takım sayısını verir. Her oyunda da˘ gıtılan puanın toplamı 1’dir.
Yani, her oyun 1 puan de˘ gerindedir. Turnuvaya n + 3
ki¸si katılmı¸s olsun. Sondaki, 3 oyuncu kendi aralarında
3 maç yaparlar ve toplam 3 puan alırlar. Oyunculardan
her birinin, elde etti˘ gi toplam puanın tam olarak
yarısını, en dü¸sük toplam puanlı üç oyuncu ile yaptı˘ gı
kar¸sıla¸smalardan elde etti˘ gine göre, demek ki bu 3
oyuncu, geri kalan n oyuncu ile yaptıkları oyundan 3
puan alırlar. Bu üç ki¸sinin, n ki¸siyle yaptı˘ gı oyun sayısı
Türkiye Süper Lig’inde 18 takım 3n’dir. Bu oyunlarda söz konusu olan 3n puanın 3
vardır. Galibiyete 3 puan, beraberli˘ ge 1 puan puanını son üç oyuncu aldı˘ gına göre, demek ki, 3n 3
ve ma˘ glubiyete ise 0 puan verilmektedir. Sezon toplam puanı n oyuncu almı¸stır. Di˘ ger taraftan, n
sonunda 18 takımın toplam puanları 430 ise, kaç ki¸sinin kendi aralarında yaptıkları oyun sayısı
maç beraberlikle bitmi¸stir?
n
2
Takımlar arasında,
oldu˘ gundan, bu n oyuncunun kendi aralarında

18 yaptıkları oyunlardaki puan toplamı da
= 153
2
n
maç oynanmı¸stır. x maç berabere bitmi¸s olsun. Bu 2
durumda, her iki takımda 1 puan alacaktır. Yani
oldu˘ gundan,
toplanan toplam puan 2x olacaktır. Geri kalan maçlarda

ise, yani 153 x maçta ise, takımlardan biri her maçta n = 3n 3
sadece 3 puan toplamı¸s olacaktır. O halde, 2
2x + 3 (153 x) = 430 olmalıdır. Bu e¸sitlikten, n 7n +6 = 0 ve buradan da
2
denkleminden x = 29 bulunur. Yani, 29 maç berabere n = 1 veya n = 6 elde edilir. n = 1 olamayaca˘ gından,
bitmi¸stir. n = 6 ve toplam oyuncu sayısı da 6 + 3 = 9 bulunur.