Page 208 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 207
Tartı Problemleri Görünü¸sleri aynı olan 101 bilyeden
100 tanesinin a˘ gırlı˘ gı aynı olup, birinin a˘ gırlı˘ gı
˙
di˘ gerlerinden farklıdır. Iki kefeli bir teraziyle,
a˘ gırlı˘ gı farklı olan bilyenin di˘ gerlerinden daha
mı hafif, yoksa daha mı a˘ gır oldu˘ gunu, en az kaç
tartıda bulabiliriz? (U ˙ IMO - 2002)

50 bilyeyi bir kefeye 50 bilyeyi de di˘ ger
kefeye koyalım.
i) E˘ ger, terazi dengede ise, tek kalan 1 bilye ya a˘ gır ya
da hafiftir. Bu bilye ile di˘ ger bilyelerden birini tartarak
bu bilyenin a˘ gır veya hafif oldu˘ gunu anlayabiliriz. Yani
Bir kuyumcu, yeni aldı˘ gı çıra˘ gına bir oyun bu durumda 2 tartı yeterldir.
oynuyor. Birbirinin görünüm ve gramaj olarak ii) E˘ ger, terazi dengede de˘ gilse, a˘ gırlı˘ gı farklı olan
aynı olan iki altın yüzü˘ gün yanına, bunlardan hafif bilye 50’li bilyelerden birindedir. ¸Simdi, hafif olan
olan fakat görerek ayırt edilemeyen birbirinin aynı 50 bilye grubunu 25’erli ¸sekilde terazinin iki kefesine
2 tane yüzük daha koyuyor. Kuyumcu çıra˘ gından, tartarak kar¸sıla¸stırırız. E¸sit iseler, demek ki farklı olan
denge terazisini kullanarak en az tartıyla bu hafif bilye di˘ ger 50’li gruptadır ve di˘ gerlerinden a˘ gırdır.
yüzükleri bulmasını istiyor. Kuyumcu çıra˘ gı en az E¸sit de˘ gil iseler, farklı olan bilye hafif bilye grubunda
kaç tartıda bu 2 yüzü˘ gü bulabilir? oldu˘ gundan hafiftir. Yani, yine 2 tartı yeterli olacaktır.
˙
Yüzükleri a; b; c ve d ile gösterelim. Ilk Farklı a˘ gırlıktaki dört ta¸s, iki kefeli bir
teraziyi en az kaç kez kullanarak hafiften a˘ gıra
tartıda, bir tarafa a di˘ ger tarafa da b’yi koyalım.
i) a = b ise a ve c tartılır, hafif olan a ise, a = b do˘ gru sıralanabilir? (UMO - 2004)
hafif olan yüzüklerdir. Hafif olan c ise, c = d hafif olan
Dört ta¸s, a, b; c ve d olsun.
yüzüklerdir.
ii) a < b ise a ve c tartılır, a = c ise, hafif olanlar 1. tartı : a < b olsun.
a ve c’dir. a 6= c ise, hafif olanlar a ve d’dir. 2. tartı : c < d olsun.
iii) a > b ise a ve c tartılır, a = c ise, hafif olanlar 3. tartı : a ve c tartılır. (Yani her iki tartıya göre
b ve d’dir. a 6= c ise, hafif olanlar b ve c’dir. hafif olanlar)
Yani, 2 tartı yeterlidir. a < c ise, a < b; c ve c < d oldu˘ gundan, b ile c ve b ile
d tartılarak sıralama yapılabilir.
a > c ise, a; d > c ve b > a sıralaması elde edilir. Son
olarak, a ile d ve b ile d tartılarak sıralama yapılabilir.
Yani, 5 tartı yeterlidir.
Her seferinde tam olarak üç portakalı
birlikte tartmak ko¸suluyla, 13 portakalın toplam
a˘ gırlı˘ gı en az kaç tartıda bulunabilir?

Portakalları p 1 ; p 2 ; :::; p 12 ; p 13 ile
gösterelim. Her seferinde tam olarak üç portakalı
tartabilece˘ gimizden,
p 1 + p 2 + p 3 ;
p 4 + p 5 + p 6 ;
p 7 + p 8 + p 9 ;
p 10 + p 11 + p 12 Her seferinde tam olarak iki karpuzu
¸ seklinde 4 tartıda 12 portakalın toplamını bulabiliriz. birlikte tartmak ko¸suluyla, 13 karpuzun toplam a˘ gırlı˘ gı
¸ Simdi, 13’üncü portakalın a˘ gırlı˘ gını da bulmalıyız. en az kaç tartıda bulunabilir? (UMO - 2002)
Bunun için,
p 1 + p 2 + p 13 ; p 2 + p 3 + p 13 ve p 1 + p 3 + p 13
a˘ gırlıklarını bulur ve bunların toplamında,
p 1 + p 2 + p 3
de˘ gerini bildi˘ gimizden dolayı p 13 ’ü de bulabiliriz. O
halde, toplam 7 tartıda 13 portakalın toplam a˘ gırlı˘ gı Yanıt : 8.
bulunabilir.