Page 207 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
206 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
50 soruluk bir sınavda her do˘ gru yanıt 50 ki¸silik bir sınıfta yapılan 4 soruluk bir
için 5 puan verilirken, her yanlı¸s yanıt için 3 puan sınavda, herhangi 40 ki¸siden en az 1 ki¸si tam olarak
ve her bo¸s yanıt için de 1 puan kesilmektedir. 3 soruyu, en az 2 ki¸si tam olarak 2 soruyu, en az
a) Bu sınava giren Ümit’in yanlı¸s sayısı do˘ gru 3 ki¸si tam olarak 1 soruyu do˘ gru, en az 4 ki¸si ise
sayısından fazla oldu˘ gu bilindi˘ gine göre negatif bütün soruları yanlı¸s çözmü¸stür. Tek sayıda soru
puan almayacak ¸sekilde yapaca˘ gı en az do˘ gru için çözen ö˘ grencilerin sayısı en az kaçtır? (UMO - 2008)
yanlı¸s sayısı en fazla kaç olabilir?
Herhangi 40 ki¸siden, 3 soruyu do˘ gru
b) Betül’ün yanlı¸s sayısı do˘ gru sayısından fazla ise,
çözen en az 1 ki¸si varsa, en az 11 ki¸si 3 soru çözmü¸s
kaç de˘ gi¸sik ¸sekilde 0 puanı alabilir.
olmalıdır. (40 ki¸si seçilir, 1 tanesi 3 soru çözmü¸s olsun,
bu 1 ki¸siyi çıkardı˘ gımızda, onun yerine geri kalan 10
ki¸siden seçilecek 40’ıncı ö˘ grenci de mutlaka 3 soru
a) Ümit’in x tane do˘ grusu ve y tane de yanlı¸sı olsun. çözmü¸s olmalıdır.)
Bu durumda,
Benzer dü¸sünceyle, 1 soruyu do˘ gru çözen sadece 3 ki¸si
(50 x y) varsa, en az 13 ki¸si 1 soru çözmü¸s olmalıdır. O halde
tek sayıda soru çözen ki¸si sayısı en az
tane bo¸su olacaktır. Buna göre, Ümit’in puanı,
11 + 13 = 24
P = 5x 3y (50 x y)
olur.
= 6x 2y 50
olur. Yanlı¸sı fazla oldu˘ gundan, y > x ko¸sulu
sa˘ glanmalıdır.
6x 2y 50 0 Matematik Olimpiyatında 20 soru
e¸sitsizli˘ ginden elde edilen sorulmu¸stur. De˘ gerlendirmede, her do˘ gru çözülmü¸s
soru için 8 puan veriliyor, her yanlı¸s çözülmü¸s soru
3x y 25
için 5 puan geri alınıyor ve hiç çözülmemi¸s soru için
e¸sitsizli˘ giyle y > x e¸sitsizliklerini toplarsak, de 0 puan veriliyor. Olimpiyada katılan bir ö˘ grenci,
2x > 25; bu de˘ gerlendirmeye göre 13 puan almı¸ssa, kaç tane
problemi (do˘ gru veya yanlı¸s) çözmü¸stür? (UAMO -
yani x 13 elde edilir. Buna göre,
1996)
3 13 y 25
yani y 14 olmalıdır. O halde negatif puan almaması
için, en az 13 do˘ gru ve ve en çok 14 yanlı¸s yapması
yeterlidir ve bu durumda puanı 0 olur.

b)
Yanıt : 13.
6x 2y 50 = 0
denkleminden elde edilen
Matematik Olimpiyatlarına hazırlanan
y = 3x 25
˙ Ilke ¸söyle bir program uyguluyor: Her gün en fazla 10
e¸sitli˘ gine göre, ˙
problem çözebilen Ilke, 7’den fazla problem çözdü˘ gü
x + y 50 günden hemen sonraki iki günde en fazla 5’er problem
˙
çözüyor. Bu programı titizlikle uygulayan Ilke, 29
oldu˘ gu da göz önüne alınarak, günde en fazla kaç problem çözebilir? (UAMO - 2003)
x = 13 ise, y = 14;
x = 14 ise, y = 17;
x = 15 ise, y = 20;
x = 16 ise, y = 23;
x = 17 ise, y = 26;
x = 18 ise, y = 29
durumlarının olabilece˘ gi görülür. O halde, Ümit 6
Yanıt : 206.
farklı ¸sekilde 0 puanını alabilir.