Page 211 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
210 DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım M.Özdemir
Çember Etrafına Sayı Yerle¸stirme Farklı n sayı, çember üzerinde, her sayı
Problemleri iki kom¸susunun çarpımına e¸sit olacak ¸sekilde
dizilebildi˘ gine göre, n en fazla kaç olabilir? (U ˙ IMO -
2008)(UMO - 1995)
Bir çember üstünde be¸s renge boyanmı¸s
n nokta var. Bu be¸s renkten hangi farklı ikisini Çemberin yanyana iki noktası a ve b olsun.
alırsak alalım, bu renklere boyanmı¸s ardı¸sık iki a ve b sıfırdan farklı olsun
nokta bulunuyorsa, n en az kaç olabilir? (U ˙ IMO -
2005)
x 1 ; a; b; y 1
için,
a
x 1 b = a e¸sitli˘ ginden, x 1 = ;
b
A; B; C; D; E a y 1 = b e¸sitli˘ ginden y 1 = b
a
be¸s farklı renk olsun. Herhangi bir nokta A renginde
olsun, A rengiyle birlikte seçilecek di˘ ger rengin A ile a b
x 2 ; ; a; b; ; y 2
ardı¸sık olabilmesi için, di˘ ger renklerin herbiri, A’dan b a
bir önce veya bir sonra en az bir kez bulunmalı. içinse,
a 1
B x 2 a = oldu˘ gundan, x 2 = ;
A C b b b
b y 2 = e¸sitli˘ ginden de y 2 = 1=a
a
D D olur. Böylece, sıralama,
1 a b 1
; ; a; b; ;
B b b a a
E ¸ seklinde olur. Burada,
E A 1 a 1 1 b 1
C b = b a ve a = a b

oldu˘ gundan, en fazla 6 sayı yazılabilir.
Yani,
(A ile B);
(A ile C);
(A ile D)
ve
(A ile E)
yanyana olabilmelidir. Bu ise A renginden en az
iki tane bulunması durumunda mümkündür. Benzer
dü¸sünceyle, di˘ ger renklerden de en az iki tane olmalıdır.
Buna göre 10 nokta kesin vardır. Bu 10 nokta ile
N 2 olmak üzere, 1; 2; :::; N sayıları
¸ sekildeki dizili¸s yapmak mümkündür.
bir çember etrafına diziliyor. Her sayı ondalık
gösterimde her kom¸susuyla bir ortak rakama sahip
ise, N en az kaç olmalıdır? (UMO - 2002)(Rusya M.O.
1999)

Yanıt : 29; (29, 9, 19, 1, 10, 11, 12, 2, 20, 21, 22, 23, 3, 13,
14, 4,24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28)