Page 212 - 8_sf_Dahimatik

˙
˙
˙
DAHIMATIK - Matematik Yarı¸smalarına Ilk Adım 211
˙
Bir çember üzerine, tamsayılar her biri Güvercin Yuvası Ilkesi Problemleri
saat yönünde kendisinden sonra gelen iki sayının
farkının mutlak de˘ gerine e¸sit olacak ¸sekilde

yerle¸stiriliyor. Çember üzerindeki tüm sayıların F Güvercin Yuvası Ilkesi Problemleri F
˙
toplamı 100 ise, çember üzerinde en fazla kaç sayı
olabilir? Güvercin yuvası ilkesi;
"n + 1 tane güvercin n tane yuvaya uçtu˘ gunda; en
Tüm sayılar birbirine e¸sit ve negatif az iki tane güvercin bulunan bir yuva bulunur"
olamaz. Sayılardan herhangi birinin 0 olması
biçiminde ifade edilir. Güvercin yuvası ilkesi bir garan-
durumunda, ko¸sul gere˘ gi, sayılar
tileme yöntemidir ve çözüme en kötü durumdan yola
0; a; a; 0; a; a; ::::; 0; a; a çıkarak ula¸sılır. Örne˘ gin; 13 ki¸siden en az ikisi aynı
biçiminde sıralanacaktır. Çember etrafına en fazla ayda do˘ gmu¸stur (Çünkü 12 ay var). 11 rakamdan en az
sayıda sayı yerle¸stirmek için, a = 1 alalım. Bu ikisi aynıdır (Çünkü sadece 10 rakam var). 11 sayıdan
durumda, 50 tane 0 ve 100 tane 1 olaca˘ gından, yanıt en az ikisinin farkı 10’a bölünür.
150 bulunur.

Not : Sayılardan herhangi birinin 0 olmaması mümkün
de˘ gildir. Çünkü, sayılardan hiçbiri 0 de˘ gilse, çember
üzerindeki en büyük sayı c olmak üzere,. c’den sonraki
gelen sayılar da, a ve b ise, ardı¸sık üç sayı a; b; c olur.
c > a ve c > b oldu˘ gundan, bu ardı¸sık üçlünün
c = ja bj
ko¸sulunu sa˘ glaması mümkün de˘ gildir.

Bir sınıfta en az kaç ki¸si olmalı ki, grubun
içinde aynı ayda do˘ gmu¸s 3 ki¸si kesinlikle bulunsun?

En kötü durum her ayda do˘ gmu¸s iki ki¸sinin
olması durumudur. Bu durumda,
a) Bir çember üzerine, her biri saat
2 12 = 24
yönünde kendisinden sonra gelen iki sayının farkının
ki¸si sınıfta kesinlikle olmalıdır. En az üç ki¸sinin aynı
mutlak de˘ gerine e¸sit ve hepsinin toplamı 94 olacak
ayda do˘ gdu˘ gunu garanti etmek için 1 ki¸si daha eklemek
biçimde n tane tamsayı yerle¸stirilmesini olanaklı kılan
en büyük n sayısı nedir? (UMO - 2004) yeterlidir. Yanıt 25.
b) Bir çember etrafında yazılı n tamsayıdan her biri,
kendisini saat yönünde izleyen iki sayının farkının
mutlak de˘ gerine e¸sit olup, tüm sayıların toplamı 278 Bir toplulukta, en az 5 ki¸sinin yılın aynı
ise, n kaç farklı de˘ ger alabilir? (UMO - 2007) ayı ve haftanın aynı günü do˘ gdu˘ gu kesin bilindi˘ gine
göre bu topluluk en az kaç ki¸siden olu¸smaktadır?

Bir yılda 12 ay ve haftada 7 gün
oldu˘ gundan, 7 12 = 84 tane (ay; g•un) ikilisi vardır. En
az 5 ki¸si yılın aynı ayı ve haftanın aynı günü do˘ gdu˘ gu
bilindi˘ gine göre, en kötü durum için
4 84 = 336
ki¸si kesinlikle bulunmalıdır. Bu durumda, aynı ay ve
aynı gün do˘ gan 4’er ki¸si olmu¸s olur. Artık, en az 5
ki¸sinin yılın aynı ayı ve haftanın aynı günü do˘ gdu˘ gunu
garanti etmek için 1 ki¸si daha eklemek yeter. Yani,
yanıt :
Yanıt : a) 141 b) 417.
336 + 1 = 337: